Convergenza uniforme serie di potenze
Qualcuno riesce a spiegarmi il metodo per determinare la convergenza uniforme di una serie Sulla convergenza puntuale non ho problemi, e non ho nemmeno problemi nel capire teoricamente la differenza che passa tra la convergenza puntuale e quella uniforme... Il mio problema è trovare una strada, un metodo, una serie di operazioni che devo seguire per determinare la convergenza uniforme. Ad esempio, per questa serie: $ sum _(n = \2)3n/sqrt(5+n^2)x^n $ -ovviamente da n=2 a infinito (non lo so scrivere)- so determinare facilmente che converge puntualmente per $ x in (-1,1) $, ma perché converge uniformemente per $ x in [-1/3,1/3] $ ?!?!? Un $ oo $ grazie a chi cercherà di aiutarmi...
Risposte
per determinare che converge puntualmente in $x\in (-1, 1)$
avrai calcolato il raggio di convergenza con questo giusto $ \lim_(n\to +\infty) root(n)(|a_n|) $
e ti sarai trovato che tale limite viene $1$ e quindi il raggio di convergenza è $R=1$
ora devi verificare se converge agli estremi dell'intervallo cioè in $x=1$ e in $x=-1$
se NON dovesse convergere né in $x=1$ né in $x=-1$
allora sai per il Teorema di convergenza per le serie di potenze, che allora converge in un sottointervallo compatto nella forma $[-a, a]$, con $0 < a < R$
per essere più precisi, ammettiamo che il raggio di convergenza sia $R=x_0$ con $x_0\ne 0 $ e $x_0 \ne +\infty$
allora per il teorema detto prima
converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato $ [x_0-a, x_0+a], a\in (0, R) $
avrai calcolato il raggio di convergenza con questo giusto $ \lim_(n\to +\infty) root(n)(|a_n|) $
e ti sarai trovato che tale limite viene $1$ e quindi il raggio di convergenza è $R=1$
ora devi verificare se converge agli estremi dell'intervallo cioè in $x=1$ e in $x=-1$
se NON dovesse convergere né in $x=1$ né in $x=-1$
allora sai per il Teorema di convergenza per le serie di potenze, che allora converge in un sottointervallo compatto nella forma $[-a, a]$, con $0 < a < R$
per essere più precisi, ammettiamo che il raggio di convergenza sia $R=x_0$ con $x_0\ne 0 $ e $x_0 \ne +\infty$
allora per il teorema detto prima
converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato $ [x_0-a, x_0+a], a\in (0, R) $
Grazie mille 21zuclo, quando ho scritto questo post evidentemente avevo dimenticato il criterio per la convergenza uniforme di serie di potenze di Abel. Comunque, quello che io vorrei capire più precisamente è: come faccio a determinare il compatto in cui la serie (di potenze o no) converge uniformemente? Esiste una metodologia da seguire? Il prof. parlava di derivare la serie rispetto a x, vedere se è crescente e trovare il sup della serie, ma poi?!? cosa dovrei fare? Voi certamente penserete che la matematica non è una semplice applicazione di regole meccanicamente, ma io voglio diventare un ingegnere e non un matematico -con tutto il rispetto per la vostra professione- 
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"Soter":
Grazie mille 21zuclo, quando ho scritto questo post evidentemente avevo dimenticato il criterio per la convergenza uniforme di serie di potenze di Abel.
attento quello che ho scritto NON è il teorema di Abel, il teorema di Abel dice
Teorema di Abel
tipo questa serie di potente $\sum_(n=1)^(+\infty) (x^n)/(3^n+4^n)$, ha raggio di convergenza $R=4$
quindi converge puntualmente in $I=(-4,4)$. Ti puoi accorgere che su $x=\pm 4$ la serie NON converge!
Ma converge uniformemente in un sottointervallo di $I$, facciamo $ Jsub I $ e $J=[-a,a]$ con $a\in (0,4)$
allora il $ Sup_(x\in [-a,a]) |(x^n)/(3^n+4^n)|= (a^n)/(3^n+4^n) $
e $ \sum_(n=1)^(+\infty) (a^n)/(3^n+4^n) $
$ (a^n)/(3^n+4^n) $ \(\sim\) $(a/4)^n$ e CONVERGE!..
ora ti ho dimostrato la convergenza, ma potevi solamente scriverlo per il teorema di convergenza delle serie di potente
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