Convergenza uniforme serie di funzioni

[Iperbolico]

Salve a tutti,
ho questa serie di funzioni:

$ sum_(n = 1\)((x+1)/x)e^(nx) $ (n varia da 1 a +inf)

mi si chiede dove converge uniformemente.

Circa la convergenza puntuale non c'è problema, fissando x e al variare di n diventa una serie numerica che converge puntualmente per x<0
Tuttavia non so come procedere per l'uniforme convergenza, qualche spunto?

Grazie mille a tutti voi

[dissonance]

Devi usare il criterio di Weierstrass:
https://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Weierstrass

Usa il fatto che $e^{nx}\le e^{nb}$ se $x\in(-\infty, b]$.

[Iperbolico]

Dunque considerando che \(\displaystyle e^{nx}\le e^{nb} \) per \(\displaystyle x\in(-\infty, b] \), prendendo in considerazione \( \sum e^{bn} \) con b<0, fissato b al variare di n si tratta di una serie numerica convergente quindi per il criterio di Weierstrass la serie di partenza è uniformemente convergente nell'intervallo, corretto?

[dissonance]

Corretto... insomma, si e no. I passaggi da fare sono quelli, ma se in un esame tu scrivessi così, non so se ti sarebbe considerato corretto o no. In particolare, che fine ha fatto il fattore $1+\frac1x$ dal termine generale della serie?

A mio avviso dovresti fare le cose con più cura. In ogni caso, il risultato è che la serie è uniformemente convergente su tutti gli intervalli $(-\infty, b]$ con $b<0$.

[Iperbolico]

"dissonance":Corretto... insomma, si e no. I passaggi da fare sono quelli, ma se in un esame tu scrivessi così, non so se ti sarebbe considerato corretto o no. In particolare, che fine ha fatto il fattore $1+\frac1x$ dal termine generale della serie?

A mio avviso dovresti fare le cose con più cura. In ogni caso, il risultato è che la serie è uniformemente convergente su tutti gli intervalli $(-\infty, b]$ con $b<0$.

Fissato x, ho considerato il termine \(\displaystyle (x+1)/x \) come un "numero" e lo avevo implicitamente portato fuori dalla radice concentrandomi cosi solo su \(\displaystyle e^{nx} \).
Però accolgo volentieri il tuo suggerimento, cerco di sviluppare un po meglio i passaggi, dunque la serie converge puntualmente per \(\displaystyle x<0 \) e il suo termine generale a conti fatti è \(\displaystyle (xe^{nx}+e^{nx})/x \) che per \(\displaystyle x\in(-\infty, b] \) lo posso maggiorare con \(\displaystyle (be^{nb}+e^{nb})/b \), se considero la serie del maggiorante, fissato b al variare di n, si può vedere, ad esempio usando il criterio del rapporto, che converge per \(\displaystyle b<0 \) allora la serie data in partenza converge uniformemente in ogni intervallo del tipo \(\displaystyle (-\infty, b] \).

Può andare come svolgimento?
PS: grazie mille per l'aiuto tempestivo, sei stato davvero prezioso

[dissonance]

Il problema nel considerare $1+\frac{1}{x}$ come un numero sta nel fatto che stai studiando la convergenza uniforme, quindi non puoi trascurare la dipendenza da $x$.

Ho un altro appunto da fare: devi considerare il termine generale *in valore assoluto*, perché il criterio che userai è un criterio di convergenza assoluta. Dovresti quindi fornire una stima del termine
\[
\left\lvert 1+ \frac1x\right\rvert,\qquad x\in (-\infty, b].\]

Quella che hai scritto tu, evidentemente, non va bene: già te ne accorgi osservando che, a quanto affermi, dovrebbe valere per ogni $b<0$, ma per $b=-1$ si annulla, e per $-1

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[Iperbolico]

"dissonance":Il problema nel considerare $1+\frac{1}{x}$ come un numero sta nel fatto che stai studiando la convergenza uniforme, quindi non puoi trascurare la dipendenza da $x$.

Ho un altro appunto da fare: devi considerare il termine generale *in valore assoluto*, perché il criterio che userai è un criterio di convergenza assoluta. Dovresti quindi fornire una stima del termine
\[
\left\lvert 1+ \frac1x\right\rvert,\qquad x\in (-\infty, b].\]

Quella che hai scritto tu, evidentemente, non va bene: già te ne accorgi osservando che, a quanto affermi, dovrebbe valere per ogni $b<0$, ma per $b=-1$ si annulla, e per $-1

Proprio qui sta il problema, la maggiorazione di \(\displaystyle 1+(1/x) \)... qualche idea?

[dissonance]

Devi fare il cosiddetto "studio di funzione" per $x\le 0$. Un disegno approssimativo è sufficiente a trovare una stima.