Convergenza uniforme serie di funzioni
Ciao a tutti. Ho a che fare con il seguente esercizio:
Si provi che la serie \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^nsin(nx)}{n^{x+1}}\] converge uniformemente nell'intervallo $[0,1]$. C'è un suggerimento: considerare separatamente gli intervalli $[0,1/2]$, $[1/2,1]$.
Sui subintervalli compatti di $[0,1]$ del tipo $[a,1]$, con $a>0$ si ha \[|\frac{x^nsin(nx)}{n^{x+1}}|\leq\frac{1}{n^{x+1}}\leq\frac{1}{n^{a+1}},\] e la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{a+1}}$ converge, dunque la serie data converge uniformemente su $[a,1]$ perchè converge ivi normalmente. Come faccio però a dire che converge uniformemente su $[0,1]$? Non riesco a sfruttare il suggerimento. Grazie mille.
Si provi che la serie \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^nsin(nx)}{n^{x+1}}\] converge uniformemente nell'intervallo $[0,1]$. C'è un suggerimento: considerare separatamente gli intervalli $[0,1/2]$, $[1/2,1]$.
Sui subintervalli compatti di $[0,1]$ del tipo $[a,1]$, con $a>0$ si ha \[|\frac{x^nsin(nx)}{n^{x+1}}|\leq\frac{1}{n^{x+1}}\leq\frac{1}{n^{a+1}},\] e la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{a+1}}$ converge, dunque la serie data converge uniformemente su $[a,1]$ perchè converge ivi normalmente. Come faccio però a dire che converge uniformemente su $[0,1]$? Non riesco a sfruttare il suggerimento. Grazie mille.
Risposte
Dato che \(|\sin nx|\leq 1\) e che \(n^{x+1}>n\), riesci a maggiorare la tua serie in \([0,1/2]\) con una serie di potenze uniformemente convergente.
Grazie per la risposta. Dunque si ha, per $x\in[0,1/2]$ \[|\frac{x^nsin(nx)}{n^{x+1}}|\leq\frac{x^n}{n}\leq \frac{(1/2)^n}{n}\], e la serie \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/2)^n}{n}\] converge. Era comunque corretto quello che avevo scritto? Hai qualche idea anche per questo viewtopic.php?f=36&t=119458? Grazie ancora.
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