Convergenza uniforme serie di funzioni
ho $sum_n (-1)^n (x^2+n)/n^2$ e devo studiarne la convergenza uniforme
per $x in R$ sup$|f_n(x)|=+oo$ e quindi non ho conv. unif. in $R$
considero gli intervalli $[-M,M],M>0$ e ottengo che sup$|f_n(x)|=(M^2+n)/n^2$ (lo chiamo $M_n$)
Adesso devo studiare la convergenza di $sum_ n M_n$ o di $sum_n (-1)^n M_n$?
per $x in R$ sup$|f_n(x)|=+oo$ e quindi non ho conv. unif. in $R$
considero gli intervalli $[-M,M],M>0$ e ottengo che sup$|f_n(x)|=(M^2+n)/n^2$ (lo chiamo $M_n$)
Adesso devo studiare la convergenza di $sum_ n M_n$ o di $sum_n (-1)^n M_n$?
Risposte
La serie non può convergere totalmente su alcun intervallo, poiché \(\sum M_n = +\infty\) (con gli \(M_n\) da te calcolati).
Ovviamente, questo non esclude che ci possa essere convergenza uniforme (che, anzi, c'è sugli intervalli limitati); prova a pensarci un po'.
Ovviamente, questo non esclude che ci possa essere convergenza uniforme (che, anzi, c'è sugli intervalli limitati); prova a pensarci un po'.
la serie data la posso scrivere come $sum_n (-1)^n x^2/n^2 + sum_n (-1)^n 1/n^2$
la seconda serie converge uniformemente (non dipende da x, è una serie di Leibniz)
la prima converge uniformemente negli intervalli $[-M,M],M>0$ perché sup$|(-1)^n x^2/n^2|=M^2/n^2$ termine generale di una serie convergente
quindi ho convergenza uniforme negli intervalli limitati
la seconda serie converge uniformemente (non dipende da x, è una serie di Leibniz)
la prima converge uniformemente negli intervalli $[-M,M],M>0$ perché sup$|(-1)^n x^2/n^2|=M^2/n^2$ termine generale di una serie convergente
quindi ho convergenza uniforme negli intervalli limitati
(La seconda serie ha \(n\) a denominatore e non \(n^2\).)
Va bene; in alternativa potevi trattare direttamente tutta la serie come una serie a termini di segno alterno e usare la nota stima per il resto \(n\)-esimo che vale per tali serie (quando il termine generale è monotono in \(n\) e tende a \(0\), come in questo caso).
Va bene; in alternativa potevi trattare direttamente tutta la serie come una serie a termini di segno alterno e usare la nota stima per il resto \(n\)-esimo che vale per tali serie (quando il termine generale è monotono in \(n\) e tende a \(0\), come in questo caso).
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