Convergenza uniforme serie di funzioni

[gbspeedy]

se ho $\sum_(n=0)^(+oo) (3^x-2)^n/(n+n^x)$

ho trovato che converge semplicemente in $[0,1)$ perchè:

per$x=0$ ho $sum (-1)^n/(n+1)$ converge per Leibniz

per $0
per $x=1$ ho $sum 1/(2n)$ che diverge

per $x>1$ ho $(3^x-2)/(n+n^x)$ $ ~ $ $(3^x-2)/n^x$ che ha termine generale non infinitesimo

per $x<0$ non converge perchè il termine generale non è infinitesimo

per la convergenza uniforme posso dire che Sup$|f_n(x)|<=(3^x-2)^n/n$ termine generale serie di potenze convergente per $x in [0,1)$?

[ciampax]

Per la convergenza puntuale c'è qualcosa che non mi torna: a me pare che tu non tenga conto del fatto che ci sia $(3^x-2)^n$ e che la sua base potrebbe assumere valori positivi e negativi a seconda del valore di $x$. Io porrei $3^x-2=t$ da cui $x=\log_3(t+2)$ e analizzerei il comportamento puntuale di

$\sum_{n=0}^{+\infty} t^n/{n+n^{\log_3(t+2)}}$

[gbspeedy]

se $t=0$ serie nulla

se $t>1$ $a_n$ $ ~ $ $t^n/(n+n^(log_3(t+2)))$ non converge

$t=1$ $\sum_(n=1)^(+oo) 1/(2n)$ diverge

$0
$-2

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[ciampax]

Continui a ragionare male: tutto sta nel vedere come cambia l'andamento asintotico del denominatore, al variare di $t$. Si ha

\[n+n^{\log_3(t+2)}\sim\left\{\begin{array}{lcl}
n & & \log_3(t+2)<1\\ 2n & & \log_3(t+2)=1\\ n^{\log_3(t+2)} & & \log_3(t+2)>1
\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{lcl}
n & & t<1\\ 2n & & t=1\\ n^{\log_3(t+2)} & & t>1
\end{array}\right.\]

Pertanto il termine generale diventa

\[\frac{t^n}{n+n^{\log_3(t+2)}}\sim\left\{\begin{array}{lcl}
\displaystyle (-1)^n\frac{|t|^n}{n} & & t<0\\ \displaystyle \frac{t^n}{n} & & 0\le t<1\\
\displaystyle\frac{1}{2n} & & t=1\\ \displaystyle\frac{t^n}{n^{\log_3(t+2)}} & & t>1
\end{array}\right.\]

E' immediato verificare che hai convergenza puntuale solo quando $-1
$-1<3^x-2<1,\ \Rightarrow\ 0

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[gbspeedy]

per la convergenza uniforme:

$|(3^x-2)^n/(n+n^x)|<(3^x-2)^n/n=g_n(x)$

$g_n(x)$ è monotona crescente allora considero gli intervalli $(0,M]$ con $0
allora $\sum (3^M-2)^n/n$ è convergente e quindi ho convergenza uniforme in quegli intervalli

[ciampax]

Ok, mi sembra corretto.