Convergenza uniforme serie
Buonasera, mi trovo in difficoltà con lo studio della convergenza uniforme su $E=(-1,1)$ di
$sum_{n=1}^(+infty) ln(1+x^(2n))$
Sto facendo esercizi quasi da autodidatta per via della DAD e vedendo esercizi simili pensavo di applicare il fatto:
$"conv.totale" -> "conv.uniforme"$ ma non riesco.
Innanzitutto noto che $ln(1+x^(2n)$ è pari, dunque posso considerare solamente $E=[0,+infty)$
$Sup_(x in [0,1)) ln(1+x^(2n) <= Sup_(x in [0,1)) x^(2n)$ e $sum_{n=1}^(+infty) 1^(2n)$ diverge, ma ciò non mi permette di dire nulla sulla serie iniziale.
Analogamente ho provato che $Sup_(x in [0,1)) ln(1+x^(2n) >= Sup_(x in [0,1)) x^(2n)*ln(2)=ln(2)$ e $sum_{n=1}^(+infty) ln(2)$ diverge. Ma il fatto che non converga assolutamente, non implica che non converga uniformemente!
Come potrei agire considerando il fatto che a "lezione" non sono state trattate in particolare le serie di potenze? Quindi dovrei trattarla come serie di funzioni generiche.
Non ho proprio idea.
Grazie
$sum_{n=1}^(+infty) ln(1+x^(2n))$
Sto facendo esercizi quasi da autodidatta per via della DAD e vedendo esercizi simili pensavo di applicare il fatto:
$"conv.totale" -> "conv.uniforme"$ ma non riesco.
Innanzitutto noto che $ln(1+x^(2n)$ è pari, dunque posso considerare solamente $E=[0,+infty)$
$Sup_(x in [0,1)) ln(1+x^(2n) <= Sup_(x in [0,1)) x^(2n)$ e $sum_{n=1}^(+infty) 1^(2n)$ diverge, ma ciò non mi permette di dire nulla sulla serie iniziale.
Analogamente ho provato che $Sup_(x in [0,1)) ln(1+x^(2n) >= Sup_(x in [0,1)) x^(2n)*ln(2)=ln(2)$ e $sum_{n=1}^(+infty) ln(2)$ diverge. Ma il fatto che non converga assolutamente, non implica che non converga uniformemente!
Come potrei agire considerando il fatto che a "lezione" non sono state trattate in particolare le serie di potenze? Quindi dovrei trattarla come serie di funzioni generiche.
Non ho proprio idea.
Grazie
Risposte
Dove è soddisfatta la condizione necessaria?
Comincia da lì.
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Ciao Aletzunny,
Beh, mi auguro che però almeno la serie geometrica sia stata trattata...
Tenendo conto che $\AA y >= 0 $ vale la ben nota diseguaglianza $ln(1 + y) <= y $ e nel caso in esame $y = x^{2n} >= 0 $, si ha:
$ 0 <= \sum_{n=1}^{+infty} ln(1+x^{2n}) <= \sum_{n=1}^{+infty} x^{2n} = x^2/(1 - x^2) $
per $|x| < 1 $
"Aletzunny":
Come potrei agire considerando il fatto che a "lezione" non sono state trattate in particolare le serie di potenze?
Beh, mi auguro che però almeno la serie geometrica sia stata trattata...
Tenendo conto che $\AA y >= 0 $ vale la ben nota diseguaglianza $ln(1 + y) <= y $ e nel caso in esame $y = x^{2n} >= 0 $, si ha:
$ 0 <= \sum_{n=1}^{+infty} ln(1+x^{2n}) <= \sum_{n=1}^{+infty} x^{2n} = x^2/(1 - x^2) $
per $|x| < 1 $
"gugo82":
Dove è soddisfatta la condizione necessaria?
Comincia da lì.
Non riesco a capire, quale condizione necessaria?
Nel mio procedere ho ragionato cosi: convergenza puntuale ok, ora devo vedere se la serie del $Sup$ converge (cosa che non avviene) altrimenti?
"pilloeffe":
Ciao Aletzunny,
[quote="Aletzunny"]Come potrei agire considerando il fatto che a "lezione" non sono state trattate in particolare le serie di potenze?
Beh, mi auguro che però almeno la serie geometrica sia stata trattata...
Tenendo conto che $\AA y >= 0 $ vale la ben nota diseguaglianza $ln(1 + y) <= y $ e nel caso in esame $y = x^{2n} >= 0 $, si ha:
$ 0 <= \sum_{n=1}^{+infty} ln(1+x^{2n}) <= \sum_{n=1}^{+infty} x^{2n} = x^2/(1 - x^2) $
per $|x| < 1 $[/quote]
Si infatti nel post iniziale l'ho scritta anche io tale disequazione, tranne che il $Sup x^(2n)$ è $1$ e dunque ottengo una serie divergente.
Altrimenti non ho capito cosa volevi farmi notare
"Aletzunny":
[quote="gugo82"]Dove è soddisfatta la condizione necessaria?
Comincia da lì.
Non riesco a capire, quale condizione necessaria?[/quote]
Sai che esiste la condizione necessaria alla convergenza di una serie, vero?
Sai che esistono dei criteri di convergenza per le serie a termini positivi?
Insomma, Ale, Analisi I te la devi ricordare... Non è che uno prende quelle cose lì e le lascia in un cassetto ad ammuffire.
"gugo82":
[quote="Aletzunny"][quote="gugo82"]Dove è soddisfatta la condizione necessaria?
Comincia da lì.
Non riesco a capire, quale condizione necessaria?[/quote]
Sai che esiste la condizione necessaria alla convergenza di una serie, vero?
Sai che esistono dei criteri di convergenza per le serie a termini positivi?
Insomma, Ale, Analisi I te la devi ricordare... Non è che uno prende quelle cose lì e le lascia in un cassetto ad ammuffire.[/quote]
ok, quella condizione la ricordo ma non riesco a collegarla con le serie di funzioni:
$a_n=ln(1+x^(2n))<=x^(2n)->0$ per $x in (-1,1)$ quindi la condizione necessarie è verificata ma ciò cosa implica per la convergenza uniforme? Questo non mi è chiaro.
Ho tuttavia provato a risolverlo cosi:
$S_N(x)=x^2((1-x^(2N)))/(1-x^2)$
Ora $||S_N-S|| = Sup_(x in (0,1)) |x^2((1-x^(2N)))/(1-x^2) - x^2/(1-x^2)|= Sup_(x in (0,1)) |(-x^(2N+2))/(1-x^2)|=Sup_(x in (0,1))|x|^(2N+2)/(1-x^2)$
Tuttavia qui ho dei dubbi: ora $|x|^(2N+2)$ se $x=1$ è tale che $S_N(1)=2N+3->+infty$ per $N->+infty$
ma il denominatore si annulla. Quindi non riesco a togliere la forma di indecisione.
Se $Sup_(x in (0,1))|x|^(2N+2)/(1-x^2)=+-infty$ allora potrei concludere che non vi è convergenza uniforme
potreste aiutarmi su quella forma di indecisione?
Grazie
La tua serie è a termini positivi.
La CN è soddisfatta solo se $-1 < x < 1$, quindi l'insieme di convergenza è contenuto in $I = ]-1, 1[$.
D'altra parte, comunque fissi $x in ]-1,1[$ hai $log(1+x^(2n)) ~~ x^(2n)$ che è infinitesimo d'ordine infinitamente elevato; perciò la serie converge in tutto $I$.
La convergenza non è totale, perché $"sup"_I log(1+x^(2n)) = log 2$ e $sum_n log 2$ diverge; tuttavia per ogni intervallo compatto $[a,b] sub I$ hai:
$log(1+x^(2n)) <= max \{ log(1+a^(2n)), log(1+b^(2n))\} = log (1+ (max\{ a^2, b^2\})^n)$
(l'ultima uguaglianza perché ...?), sicché hai certamente convergenza totale, quindi pure assoluta ed uniforme, su $[a,b]$.
***
"A occhio", la convergenza non può essere uniforme su tutto $I$.
Supponiamo che lo sia, sicché esiste una funzione $s(x)$ tale che $s_N (x) \stackrel{"u"}{->} s(x)$ in $I$, in cui $s_N(x)$ è la somma parziale $N$-esima della serie: ciò significa che:
$AA varepsilon >0,\ exists nu in NN:\ AA x in ]-1,1[, AA N >= nu,\ 0<= s(x) - s_N(x) < varepsilon$
(ricorda che la serie è a termini positivi, quindi $s(x) >= s_N(x)$).
In particolare, scelto $varepsilon =1$ e $N=nu$, dalla precedente si trae:
$AA x in ]-1,1[,\ 0 <= s(x) < s_nu (x) + 1$
e, poiché $s_nu$ è dotata di massimo in $[-1,1]$ uguale a $log 2$, si avrebbe anche:
$AA x in ]-1,1[,\ 0 <= s(x) < log 2 + 1$.
Quindi $s(x)$ dovrebbe essere limitata in $]-1,1[$.
Inoltre, visto che $s_N(x)$ è somma di funzioni positive e decrescenti in $]-1,0]$ e crescenti in $[0,1[$, è chiaro che la funzione limite $s(x)$ condivide le stesse proprietà di monotonia.
Mettendo insieme le due cose, per il Teorema di Regolarità delle Funzioni Monotone e limitatezza, esistono certamente finiti i $lim_(x -> +-1) s(x) $.
Ma ciò è assurdo: infatti, visto che la convergenza è uniforme possiamo scambiare l'ordine dei limiti ed ottenere:
$lim_(x -> +- 1) s(x) = lim_(x -> +- 1) lim_N s_N (x) = lim_N lim_(x -> +- 1) s_N(x) = lim_N s_N(+-1) = lim_N N log 2 = +oo$.
La CN è soddisfatta solo se $-1 < x < 1$, quindi l'insieme di convergenza è contenuto in $I = ]-1, 1[$.
D'altra parte, comunque fissi $x in ]-1,1[$ hai $log(1+x^(2n)) ~~ x^(2n)$ che è infinitesimo d'ordine infinitamente elevato; perciò la serie converge in tutto $I$.
La convergenza non è totale, perché $"sup"_I log(1+x^(2n)) = log 2$ e $sum_n log 2$ diverge; tuttavia per ogni intervallo compatto $[a,b] sub I$ hai:
$log(1+x^(2n)) <= max \{ log(1+a^(2n)), log(1+b^(2n))\} = log (1+ (max\{ a^2, b^2\})^n)$
(l'ultima uguaglianza perché ...?), sicché hai certamente convergenza totale, quindi pure assoluta ed uniforme, su $[a,b]$.
***
"A occhio", la convergenza non può essere uniforme su tutto $I$.
Supponiamo che lo sia, sicché esiste una funzione $s(x)$ tale che $s_N (x) \stackrel{"u"}{->} s(x)$ in $I$, in cui $s_N(x)$ è la somma parziale $N$-esima della serie: ciò significa che:
$AA varepsilon >0,\ exists nu in NN:\ AA x in ]-1,1[, AA N >= nu,\ 0<= s(x) - s_N(x) < varepsilon$
(ricorda che la serie è a termini positivi, quindi $s(x) >= s_N(x)$).
In particolare, scelto $varepsilon =1$ e $N=nu$, dalla precedente si trae:
$AA x in ]-1,1[,\ 0 <= s(x) < s_nu (x) + 1$
e, poiché $s_nu$ è dotata di massimo in $[-1,1]$ uguale a $log 2$, si avrebbe anche:
$AA x in ]-1,1[,\ 0 <= s(x) < log 2 + 1$.
Quindi $s(x)$ dovrebbe essere limitata in $]-1,1[$.
Inoltre, visto che $s_N(x)$ è somma di funzioni positive e decrescenti in $]-1,0]$ e crescenti in $[0,1[$, è chiaro che la funzione limite $s(x)$ condivide le stesse proprietà di monotonia.
Mettendo insieme le due cose, per il Teorema di Regolarità delle Funzioni Monotone e limitatezza, esistono certamente finiti i $lim_(x -> +-1) s(x) $.
Ma ciò è assurdo: infatti, visto che la convergenza è uniforme possiamo scambiare l'ordine dei limiti ed ottenere:
$lim_(x -> +- 1) s(x) = lim_(x -> +- 1) lim_N s_N (x) = lim_N lim_(x -> +- 1) s_N(x) = lim_N s_N(+-1) = lim_N N log 2 = +oo$.
Grazie gugo, ma avrei pensato a procedere in questo modo per giungere all'assurdo
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