Convergenza uniforme e totale

[Gaal Dornick]

Non riesco a farlo.. e in generale ho un po' di perplessità sulla convergenza uniforme e totale delle serie di funzioni: l'uniforme non implica la totale sempre? o sotto alcune ipotesi si?
e poi l'esercizio (ad esempio)
dimostrare che non c'è convergenza uniforme su $RR$
$sum(-1)^n \frac{nx}{x^2+n^2}$

dimostro che non c'è totale su $RR$, ma posso sfruttare ciò in qualche modo?

[Fioravante Patrone1]

"Gaal Dornick":perplessità sulla convergenza uniforme e totale delle serie di funzioni: l'uniforme non implica la totale sempre? o sotto alcune ipotesi si?

totale implica uniforme e, in generale, non vale il viceversa

a occhio, credo possa valere sotto condizioni di monotonia (rispetto alla $x$) per il termine generale, oltre che di non negatività
ma, ammesso che sia vero, di fatto in questo caso vedi direttamente la convergenza totale

per me (esperienza dell'artigiano) convergenza totale è un comodo metodo per garantire la convergenza uniforme
se diventa faticoso, meglio provare direttamente la convergenza uniforme

[Gaal Dornick]

quindi dimostrare nell'esercizio che non c'è convergenza uniforme su $RR$ vuol dire dimostrare che la successione delle somme parziali non converge uniformemente, non ho altre vie (la convergenza puntuale su $RR$ è ovvia).
come lo dimostro?

[Fioravante Patrone1]

guarda qui (è in inglese):

http://www.math.uchicago.edu/~ershov/16300/uniform2.pdf

c'è un esercizio molto simile


l'idea è di usare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
da cui, tra l'altro, segue che condizione necessaria per la convergenza uniforme di una serie è che il termine generale vada andare uniformemente a zero

nel caso tuo, si vede che non succede, basta calcolare il temine generale in $x=n$

[Gaal Dornick]

perfetto
esattamente la risposta che volevo!
grazie mille