Convergenza uniforme e sommabilità
Stavo riflettendo sulla relazione che c'è tra convergenza uniforme di una successione di funzioni sommabili e sommabilità del limite. In generale non si può dire nulla: la famiglia di funzioni sommabili ${1/(x^p)}$ converge uniformemente(*) in $[1, infty)$ a $1/x$ che non è sommabile, e la successione di costanti (non sommabili) ${1/n}$ converge uniformemente in $RR$ alla funzione nulla che invece è sommabile.
Ma cosa succede se è noto a priori che una successione di funzioni sommabili converge uniformemente ad una funzione sommabile? Intuitivamente io direi che è vera questa proposizione:
Ma cosa succede se è noto a priori che una successione di funzioni sommabili converge uniformemente ad una funzione sommabile? Intuitivamente io direi che è vera questa proposizione:
- Sia ${f_n}$ una successione di funzioni sommabili in uno spazio di misura $(X, mu)$. Supponiamo che $f_n\tof$ uniformemente in $X$ e che $f$ sia sommabile. Allora $int_X|f_n-f|"d"mu\to0$.
[/list:u:1fo4ji6m]
Mi sbaglio? E se la proposizione è vera, come dimostrarla?
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(*) Per $p\to1^+$.
Risposte
A occhio direi che non è vera se $mu(X)=+oo$.
Infatti $f_n(x):=\{(1/n, ", se " 0<=x<=n),(0, ", se " x>n):}$... (continua da solo, tanto è facile
).
Per rendere vera la tua proposizione devi aggiungere, ad esempio, la condizione $\int_X|f_n|" d"mu\to \int_X|f|" d"mu$: in tal caso ricadi nel teorema che ho dimostrato due/tre settimane fa (qui), avendo ipotesi molto più forti sulla convergenza.
Infatti $f_n(x):=\{(1/n, ", se " 0<=x<=n),(0, ", se " x>n):}$... (continua da solo, tanto è facile
).Per rendere vera la tua proposizione devi aggiungere, ad esempio, la condizione $\int_X|f_n|" d"mu\to \int_X|f|" d"mu$: in tal caso ricadi nel teorema che ho dimostrato due/tre settimane fa (qui), avendo ipotesi molto più forti sulla convergenza.
Ok. Mi ricordavo di quel tuo post, ma non mi era venuto in mente di applicarlo qui!
Quindi io direi che non è sbagliato dire: la convergenza uniforme e la sommabilità "non c'entrano nulla" in spazi di misura infinita.
In altre parole, sapere che una successione di funzioni converge uniformemente non ci dà più informazioni sulla convergenza degli integrali di quante non ce ne dia la sola convergenza puntuale.
(Ad esempio il teorema che hai dimostrato nell'altro post non passa dalla convergenza uniforme ma dalla convergenza di $||f_n||_p\to||f||_p$).
Che ne pensi?
Quindi io direi che non è sbagliato dire: la convergenza uniforme e la sommabilità "non c'entrano nulla" in spazi di misura infinita.
In altre parole, sapere che una successione di funzioni converge uniformemente non ci dà più informazioni sulla convergenza degli integrali di quante non ce ne dia la sola convergenza puntuale.
(Ad esempio il teorema che hai dimostrato nell'altro post non passa dalla convergenza uniforme ma dalla convergenza di $||f_n||_p\to||f||_p$).
Che ne pensi?
Sì, credo di essere d'accordo.
Convergenza uniforme e sommabilità del limite non sono legate, ovviamente. Tantomeno sono legate convergenza uniforme e convergenza $L^1$ (o, più in generale, $L^p$) su spazi con misura infinita; anzi sono concetti ben distinti, nel senso che l'uno non implica l'altro (a meno di non aggiungere condizioni ausiliarie).
Penso che ciò sia dovuto al fatto che $L^oo$ ed $L^1$ in generale non sono "imparentati" se $mu(X)=+oo$.
Infatti non si ha né $L^oo\subseteq L^1$ ($1\in L^oo$ ma $1 \notin L^1$ su $]0,+oo[$) né $L^1\subseteq L^oo$ ($(1/\sqrt(x)-1)^+ \in L^1$ ma $(1/\sqrt(x)-1)^+ \notin L^oo$ in $]0,+oo[$).
Convergenza uniforme e sommabilità del limite non sono legate, ovviamente. Tantomeno sono legate convergenza uniforme e convergenza $L^1$ (o, più in generale, $L^p$) su spazi con misura infinita; anzi sono concetti ben distinti, nel senso che l'uno non implica l'altro (a meno di non aggiungere condizioni ausiliarie).
Penso che ciò sia dovuto al fatto che $L^oo$ ed $L^1$ in generale non sono "imparentati" se $mu(X)=+oo$.
Infatti non si ha né $L^oo\subseteq L^1$ ($1\in L^oo$ ma $1 \notin L^1$ su $]0,+oo[$) né $L^1\subseteq L^oo$ ($(1/\sqrt(x)-1)^+ \in L^1$ ma $(1/\sqrt(x)-1)^+ \notin L^oo$ in $]0,+oo[$).
"Gugo82":
Penso che ciò sia dovuto al fatto che $L^oo$ ed $L^1$ in generale non sono "imparentati" se $mu(X)=+oo$.
Certo. Questa è una spiegazione convincente.
Mi suonava un po' strano perché invece nel contesto dell'integrale di Riemann l'unico (a me noto) teorema sull'integrale del limite passa proprio dalla convergenza uniforme. Ma è chiaro: quel teorema si limita a integrali su intervalli.
Infatti il teorema $"convergenza uniforme" => "passaggio al limite sotto il segno d'integrale"$ è falso anche per l'integrale di Riemann non appena si esce dai compatti.
Il controesempio è sempre lo stesso di prima.
Il controesempio è sempre lo stesso di prima.
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