Convergenza uniforme e scambio limite-integrale
Sono uno studente di fisica e quindi non mi sconvolgo più di tanto di fronte a manipolazioni formali, derivazioni di serie termine a termine ingiustificate, scambi limite-integrale ... Sono però curioso di sapere come un matematico si metterebbe il cuore in pace in questa situazione che mi è capitata di recente:
\[L= \lim_{h\to 0}\,\,h^{-1} \int_0^{2\pi} d\phi\int_0^{\pi} d\theta \sin \theta\,[f(r+h,\theta,\phi)-f(r,\theta,\phi)]\]
La tentazione è di concludere subito:
\[ L= \int_0^{2\pi} d\phi\int_0^{\pi} d\theta \sin \theta \frac{\partial f}{\partial r}\]
Il principale risultato che conosco per scambiare limite e integrale è quello che richiede la convergenza uniforme. Quindi ecco la domanda: che ipotesi servono su \(f\) per concludere che la successione dei suoi rapporti incrementali (parziali) converge uniformemente? Oppure mi sto complicando la vita? O comunque qual è la via corretta di procedere in questi casi? Grazie!
\[L= \lim_{h\to 0}\,\,h^{-1} \int_0^{2\pi} d\phi\int_0^{\pi} d\theta \sin \theta\,[f(r+h,\theta,\phi)-f(r,\theta,\phi)]\]
La tentazione è di concludere subito:
\[ L= \int_0^{2\pi} d\phi\int_0^{\pi} d\theta \sin \theta \frac{\partial f}{\partial r}\]
Il principale risultato che conosco per scambiare limite e integrale è quello che richiede la convergenza uniforme. Quindi ecco la domanda: che ipotesi servono su \(f\) per concludere che la successione dei suoi rapporti incrementali (parziali) converge uniformemente? Oppure mi sto complicando la vita? O comunque qual è la via corretta di procedere in questi casi? Grazie!
Risposte
Si tratta di una derivazione sotto il segno di integrale.
Se cerchi "integrali dipendenti da un parametro" trovi un sacco di roba; guarda ad esempio qui:
http://www.ccct.altervista.org/fisica/a ... egrale.pdf
Se cerchi "integrali dipendenti da un parametro" trovi un sacco di roba; guarda ad esempio qui:
http://www.ccct.altervista.org/fisica/a ... egrale.pdf
Ti ringrazio!
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