Convergenza uniforme e puntuale

[bad.alex]

Buon pomeriggio.
Avrei bisogno del vostro aiuto.
il testo del problema chiede di verificare convergenza puntuale e uniforme della funzione:
$f_n(x)= nx $ per x in $[0,1/n]$
$(sin(nx))/2^n$ in $]1/n,1]$
definita in [0,1] ->R

Sotto ho postato parte del mio ragionamento/svolgimento. Ma ancora qualcosa non mi è chiaro sulla convergenza puntuale in nx e sull'insieme in cui si verifich convergenza uniforme.
grazie

[adaBTTLS1]

per come hai scritto sembrerebbe
$x in [0, 1/n) -> nx in [0, 1)$, ma la domanda non mi è chiara... ciao.

[bad.alex]

"adaBTTLS":per come hai scritto sembrerebbe
$x in [0, 1/n) -> nx in [0, 1)$, ma la domanda non mi è chiara... ciao.

Ciao ada. Praticamente, il testo del problema chiede di verificare convergenza puntuale e uniforme della funzione:
$f_n(x)= nx $ per x in $[0,1/n]$
$(sin(nx))/2^n$ in $]1/n,1]$
definita in [0,1] ->R
Come si può facilmente calcolare, in 1/n non sono continue:
infatti $f(1/n)=1 e lim_(x to 1/n^+) f_n(x)= (sin1)/2^n$
Per studiarne convergenza puntuale, devo considerare x come parametro e trovare i limiti per n che tende ad infinito, trovarne l'insieme di convergenza.
Mentre $(sin(nx))/2^n$ ->0, quindi converge puntualmente, non so cosa accada per nx. A me verrebbe +oo ma può darsi che mi stia sbagliando sul modo di procedere.
Per la convergenza uniforme devo calcolare:
$lim("sup"|f_n(x)-f(x)|=0$ in [0,1]
Calcolandolo trovo il valore 1. Pertanto, non si ha convergenza uniforme.
Come faccio a determinarne l'insieme?

grazie per l'aiuto

[adaBTTLS1]

beh, io non sono esperta dell'argomento, però $x<1/n$ lascia intendere $nx<1$. certamente se x=0 è banale, se x è fisso e diverso da zero la successione $nx$ diverge, ma $[0, 1/n)$ non è un intervallo "fisso", ma per $n->+oo$ tende a ${0}$. non mi spiego come si possa fare un limite della successione con $x in (0,1/n)$, x>0 ben determinato.

[bad.alex]

chiarissimo,ada. grazie infinite
Mi hai reso "illuminato"

Buon week end

[adaBTTLS1]

prego, sono felice per te. buon fine settimana anche a te.