Convergenza uniforme, e di Cauchy
Ho la seguente situazione: $\{ A_k \}$ una successione decrescente d'insiemi e $\{ f_n \}$ una successione di funzioni $f_n : X \rightarrow [-\infty , +\infty]$ tali che $AA k \in NN$ e $AA \epsilon > 0$ , $\exists N $ tale che \[ | f_n(x) - f_m(x) | < \epsilon \;\;\;\; \text{ per } n , m > N \;\;\;\;\; \text{ su } X \setminus A_k \]
quindi su $X \setminus A_k$ si ha \[ \sup_{X \setminus A_k} | f_n(x) - f_m(x) | \to 0 \text{ per } n , m \to \infty \]
cioè $f_n$ è di Cauchy uniforme su $X \setminus A_k$, $\forall k$.
Poiché, a $x \in X$ fissato, $f_n(x)$ è una successione numerica reale, essendo di Cauchy posso concludere che $f_n$ converge puntualmente su $X \setminus A_k$, $\forall k$. Non mi è però così evidente come l'essere di Cauchy uniforme implichi l'essere uniformemente convergente.
Si può dire che
\[ | f_n(x) - f_m(x) | \to |f_n(x) - f(x) | \;\;\;\; \text{ per } m \to \infty \;\;\;\;\; \text{ su } X \setminus A_k \]
e dunque
\[ \sup_{X \setminus A_k} | f_n(x) - f(x) | \to 0 \;\;\;\; \text{ per } n \to \infty \]
?
quindi su $X \setminus A_k$ si ha \[ \sup_{X \setminus A_k} | f_n(x) - f_m(x) | \to 0 \text{ per } n , m \to \infty \]
cioè $f_n$ è di Cauchy uniforme su $X \setminus A_k$, $\forall k$.
Poiché, a $x \in X$ fissato, $f_n(x)$ è una successione numerica reale, essendo di Cauchy posso concludere che $f_n$ converge puntualmente su $X \setminus A_k$, $\forall k$. Non mi è però così evidente come l'essere di Cauchy uniforme implichi l'essere uniformemente convergente.
Si può dire che
\[ | f_n(x) - f_m(x) | \to |f_n(x) - f(x) | \;\;\;\; \text{ per } m \to \infty \;\;\;\;\; \text{ su } X \setminus A_k \]
e dunque
\[ \sup_{X \setminus A_k} | f_n(x) - f(x) | \to 0 \;\;\;\; \text{ per } n \to \infty \]
?
Risposte
"Seneca":
Si può dire che
\[ | f_n(x) - f_m(x) | \to |f_n(x) - f(x) | \;\;\;\; \text{ per } m \to \infty \;\;\;\;\; \text{ su } X \setminus A_k \]
e dunque
\[ \sup_{X \setminus A_k} | f_n(x) - f_m(x) | \to 0 \;\;\;\; \text{ per } n \to \infty \]
?
Forse mi sfugge qualcosa, ma il ragionamento che fai è analogo a quello che si fa su $\RR^k$.
Più che altro, in generale, non occorre avere qualche informazione su $X$? Ricordo che le successioni di Cauchy convergono se e solo se lo spazio è completo...
Ho modificato un po' il mio post. Perdonami, ma non vedo il collegamento tra quello che hai scritto tu e quello che ho scritto io. Nel mio caso ho successioni di funzioni, che, ad $x$ fissato, sono di fatto successioni reali ed $RR$ è completo.
Il mio dubbio era... come fa questa strana condizione di Cauchy uniforme ad implicare l'uniforme convergenza della succ. di funzioni?
Il mio dubbio era... come fa questa strana condizione di Cauchy uniforme ad implicare l'uniforme convergenza della succ. di funzioni?
Sono io che chiedo scusa (sei tu che dovresti insegnare a me 
)...
A parte tutto, ho solo detto che ricordo che in analisi I si diceva che le successioni di Cauchy sono anche convergenti facendo il ragionamento che hai fatto tu, cioè mandando $m$ a infinito.
Ho chiesto di che pasta fosse $X$ (quindi deduco $X\subseteq \RR$) solo perché so che successioni di Cauchy e convergenza andavano a braccetto in spazi completi.
)...A parte tutto, ho solo detto che ricordo che in analisi I si diceva che le successioni di Cauchy sono anche convergenti facendo il ragionamento che hai fatto tu, cioè mandando $m$ a infinito.
Ho chiesto di che pasta fosse $X$ (quindi deduco $X\subseteq \RR$) solo perché so che successioni di Cauchy e convergenza andavano a braccetto in spazi completi.
La condizione di Cauchy uniforme in un insieme \(D\) non è altro che la condizione di Cauchy (ordinaria) nello spazio metrico completo \(C(D)\) munito della metrica uniforme.
Per una dimostrazione puoi vedere il Rudin, "Principles...", thm. 7.8.
Per una dimostrazione puoi vedere il Rudin, "Principles...", thm. 7.8.
Grazie!
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