Convergenza uniforme e derivabilità

[signabokov]

Ciao ragazzi, ho problemi col seguente esercizio

Sia $f: (-R,R)\to\mathbb{R}$ la funzione \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\qquad x\in(-R,R)\] dove $0 Intanto è utile ricordarsi che c'è un teorema che dice che una serie di potenze e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza. Ora, c'è anche un teorema che dice che la somma di una serie di potenze, all'interno dell'intervallo di convergenza, è derivabile, e la derivata della somma della serie è la somma della serie delle derivate. Naturalmente tale teorema si può applicare anche alle derivate successive, e dunque in realtà vale il seguente

TEOREMA. La somma di una serie di potenze è derivabile infinite volte all'interno dell'intervallo di convergenza, e la derivata della somma della serie è la somma della serie delle derivate.

Il punto è che la dimostrazione di questo teorema che c'è su De Marco, Analisi 2, usa tecniche di calcolo complicate, mentre in teoria questo esercizio si dovrebbe risolvere usando il passaggio al limite sotto il segno di derivata. Però per derivare la serie termine a termine ci vuole la convergenza uniforme della serie delle derivate, e non è vero che una serie di potenze converge uniformemente all'interno dell'intervallo di convergenza (è vero su ogni intervallo strettamente contenuto in $(-R,R)$, ma non su tutto $(-R,R)$).

Grazie mille

[gugo82]

Ogni punto \(x_0\in ]-R,R[\) è contenuto in un intervallo in cui la serie di potenze converge totalmente (e dunque anche uniformemente ed assolutamente), quindi il passaggio al limite sotto il segno di derivata è localmente lecitissimo (una volta che hai accertato che la serie delle derivate ha lo stesso raggio di convergenza della serie assegnata).