Convergenza uniforme e continuità in due variabili
Prendiamo una funzione $f=f(x,t)$ reale di due variabili reali. Se la pensiamo come una famiglia di funzioni della $x$ dipendenti dal parametro $t$, quali condizioni dobbiamo imporre perché questa dipendenza sia continua (nel senso della convergenza uniforme)?
Voglio dire: mi servirebbe che, per $t\tos$, la funzione $f(*, t)\tof(*, s)$, ovvero, esplicitamente, che $||f(*, t)-f(*, s)||_{infty}\to0$.
Mi sa che la sola continuità non mi basta, a meno che non faccia vivere $x$ in un compatto, ma non vorrei sbagliarmi.
Voglio dire: mi servirebbe che, per $t\tos$, la funzione $f(*, t)\tof(*, s)$, ovvero, esplicitamente, che $||f(*, t)-f(*, s)||_{infty}\to0$.
Mi sa che la sola continuità non mi basta, a meno che non faccia vivere $x$ in un compatto, ma non vorrei sbagliarmi.
Risposte
se non ho capito male te vorresti sapere che condizioni bisogna avere affinche $||f(x_0,t)-f(x_0,s)||_{infty}->0$ per $t->s$, giusto?
uhm uhm se blocchi $x_0$ allora su due piedi direi che possiamo considerare la funzione $g(t)=f(x_0,t)$. Allora la condizione è soddisfatta se $g(t)$ è uniformemente continua.
Quindi la condizione che bisogna mettere è che $f(x,t)$ sia uniformemente continua vista come funzione di $t$. In questo modo se ${s_n}$ è una successione che tende ad $s$, hai soddisfatto la richiesta di convergenza uniforme($|f(x_0,s_n-f(x_0,s))|0$), ovvero hai soddisfatto la richiesta di convergenza nella metrica $||_{oo}$.
Non so se ci sono condizioni più leggere, su due piedi non me ne vengono in mente.
spero di non aver detto troppe cazzate
le serie di funzioni le ho iniziate da 3 giorni 
uhm uhm se blocchi $x_0$ allora su due piedi direi che possiamo considerare la funzione $g(t)=f(x_0,t)$. Allora la condizione è soddisfatta se $g(t)$ è uniformemente continua.
Quindi la condizione che bisogna mettere è che $f(x,t)$ sia uniformemente continua vista come funzione di $t$. In questo modo se ${s_n}$ è una successione che tende ad $s$, hai soddisfatto la richiesta di convergenza uniforme($|f(x_0,s_n-f(x_0,s))|
Non so se ci sono condizioni più leggere, su due piedi non me ne vengono in mente.
spero di non aver detto troppe cazzate
le serie di funzioni le ho iniziate da 3 giorni
"fu^2":
se non ho capito male te vorresti sapere che condizioni bisogna avere affinche $||f(x_0,t)-f(x_0,s)||_{infty}->0$ per $t->s$, giusto?
uhm uhm se blocchi $x_0$ ...
guarda fu^2, io non ho continuato a leggere ma già qua non mi ritrovo. Se mi blocchi la $x$ come faccio ad avere convergenza uniforme rispetto ad $x$? Quello che voglio è che $||f(*, t)-f(*, s)||_infty\to0$, nel senso che $"sup"_{x}|f(x,t)-f(x,s)|\to0$ quando $t\tos$.
aaah ho capito male io.. ho letto troppo velocemente il testo, scusami, ho inteso che volevi solo la dipendenza dalla t e non dalla x, mi sembrava troppo semplice... scusa... ora ho capito, su questo devo pensarci un attimo
Mi intrometto anch'io dopo una lettura rapida.
A me pare che fu^2 dicesse il vero ... anche se magari si e' espresso male.
Diciamo che $f:A\times B\to C$ e per $t$ in $B$ definiamo $f_t:A\to C$ mediante $f_t(x):=f(x,t)$.
Credo che sia una semplice verifica dimostrare che
$f$ uniformemente continua su $A\times B$ implica $f_t\to f_{t_0}$ uniformemente su $A$ per $t\to t_0$, per ogni $t_0$ in $B$.
E scommetterei anche qualcosa sul fatto che vale anche il viceversa.
A me pare che fu^2 dicesse il vero ... anche se magari si e' espresso male.
Diciamo che $f:A\times B\to C$ e per $t$ in $B$ definiamo $f_t:A\to C$ mediante $f_t(x):=f(x,t)$.
Credo che sia una semplice verifica dimostrare che
$f$ uniformemente continua su $A\times B$ implica $f_t\to f_{t_0}$ uniformemente su $A$ per $t\to t_0$, per ogni $t_0$ in $B$.
E scommetterei anche qualcosa sul fatto che vale anche il viceversa.
Dissonance, in fondo, stai richiedendo che la continuità di $f$ rispetto a $t$ sia uniforme rispetto a $x$, nel senso che:
$AAt_0, AA\epsilon>0, exists U_\epsilon(t_0): \quad AA t\inU\epsilon(t_0), AAx, |f(x,t)-f(x,t_0)|
(qui $U\epsilon(t_0)$ è un intorno aperto di $t_0$).
Sempre se ho capito bene il problema.
$AAt_0, AA\epsilon>0, exists U_\epsilon(t_0): \quad AA t\inU\epsilon(t_0), AAx, |f(x,t)-f(x,t_0)|
(qui $U\epsilon(t_0)$ è un intorno aperto di $t_0$).
Sempre se ho capito bene il problema.
Scusate ma, andando a impulso, ho l'impressione di aver detto una ca---ta.
La cosa giusta mi pare quella di Gugo82, che peralto e' un modo diverso di dire l'ipotesi
(senza voler sminuire il suo intervento).
La cosa giusta mi pare quella di Gugo82, che peralto e' un modo diverso di dire l'ipotesi
(senza voler sminuire il suo intervento).
"ViciousGoblinEnters":
La cosa giusta mi pare quella di Gugo82, che peralto e' un modo diverso di dire l'ipotesi
(senza voler sminuire il suo intervento).
Ma infatti... è solo che non credo di aver capito bene cosa vuole sapere dissonance.
Cioè, la liceità di quel passaggio al limite che chiede è proprio la definizione di continuità in $t$ uniforme rispetto a $x$ (se non sbaglio).
Ehem, l'intervento di Gugo82, mi ha "destabilizzato" --- ora pero' mi pare che la mia primigenia affemazione fosse corretta.
@Gugo82: mi pare che dissonance volesse una qualche caratterizzazione/ipotesi in termini della $f(x,t)$
Vediamo, supponiamo che $f$ sia uniformemente continua nel prodotto e vediamo se $f_{t}\to f_{t_0}$ uniformemente per $t\to t_0$.
Fissiamo $\epsilon>0$. Per definizione esiste $\delta>0$ tale che per ogni $(x,t)$ e $(y,s)$
$|x-y|<\delta$ e $|t-s|<\delta$ implica $|f(x,t)-f(y,s)|<\epsilon$. In particolare fissato $t_0$ si ha
$\forall t,x$ : $|t-t_0|<\delta$ implica $|f(x,t)-f(x,t_0)|<\epsilon$ e cioe'
$\forall t$ : $|t-t_0|<\delta$ implica $\|f_t-f_{t_0}||_\infty<\epsilon$
cio\`e la tesi.
Per il viceversa non sono piu' tanto convinto, ho l'impressione che l'uniforme continuita' di $f$ nel prodotto sia equivalente
al fatto che l'applicazione $t\mapsto f_t$ sia uniformemente continua (e non semplicemente continua).
@Gugo82: mi pare che dissonance volesse una qualche caratterizzazione/ipotesi in termini della $f(x,t)$
Vediamo, supponiamo che $f$ sia uniformemente continua nel prodotto e vediamo se $f_{t}\to f_{t_0}$ uniformemente per $t\to t_0$.
Fissiamo $\epsilon>0$. Per definizione esiste $\delta>0$ tale che per ogni $(x,t)$ e $(y,s)$
$|x-y|<\delta$ e $|t-s|<\delta$ implica $|f(x,t)-f(y,s)|<\epsilon$. In particolare fissato $t_0$ si ha
$\forall t,x$ : $|t-t_0|<\delta$ implica $|f(x,t)-f(x,t_0)|<\epsilon$ e cioe'
$\forall t$ : $|t-t_0|<\delta$ implica $\|f_t-f_{t_0}||_\infty<\epsilon$
cio\`e la tesi.
Per il viceversa non sono piu' tanto convinto, ho l'impressione che l'uniforme continuita' di $f$ nel prodotto sia equivalente
al fatto che l'applicazione $t\mapsto f_t$ sia uniformemente continua (e non semplicemente continua).
@Gugo: hai ragione, mi sono scordato di scrivere il succo della domanda: sto cercando delle condizioni sufficienti più "umane" perché valga questo fatto (quello che tu hai chiamato "continuità in una variabile uniforme rispetto all'altra", per intenderci).
Mi chiedevo: la sola continuità della $f$ può bastare? (Penso di no, ma trovare un controesempio non mi riesce).
E se faccio vivere $x$ in un compatto $K$, basta?
Qui sono quasi sicuro che la risposta sia sì, sempre che $t$ non viva in un insieme troppo strano: ad esempio se $t\inI$ intervallo, per ogni $t_0$ io fisserei un $[t_0-rho, t_0+rho]$ e a quel punto la funzione ristretta alla striscia $Ktimes[t_0-rho, t_0+rho]$ è uniformemente continua, da cui credo segua la tesi.
Ma nell'ultima discussione proprio su un tema simile (compattezza locale) ho toppato clamorosamente, e quindi mi farebbe comodo l'opinione di qualcun'altro.
[edit] @V.G.E.:abbiamo scritto contemporaneamente.
Mi chiedevo: la sola continuità della $f$ può bastare? (Penso di no, ma trovare un controesempio non mi riesce).
E se faccio vivere $x$ in un compatto $K$, basta?
Qui sono quasi sicuro che la risposta sia sì, sempre che $t$ non viva in un insieme troppo strano: ad esempio se $t\inI$ intervallo, per ogni $t_0$ io fisserei un $[t_0-rho, t_0+rho]$ e a quel punto la funzione ristretta alla striscia $Ktimes[t_0-rho, t_0+rho]$ è uniformemente continua, da cui credo segua la tesi.
Ma nell'ultima discussione proprio su un tema simile (compattezza locale) ho toppato clamorosamente, e quindi mi farebbe comodo l'opinione di qualcun'altro.
[edit] @V.G.E.:abbiamo scritto contemporaneamente.
"dissonance":
@Gugo: hai ragione, mi sono scordato di scrivere il succo della domanda: sto cercando delle condizioni sufficienti più "umane" perché valga questo fatto (quello che tu hai chiamato "continuità in una variabile uniforme rispetto all'altra", per intenderci).
Mi chiedevo: la sola continuità della $f$ può bastare? (Penso di no, ma trovare un controesempio non mi riesce).
E se faccio vivere $x$ in un compatto $K$, basta?
Qui sono quasi sicuro che la risposta sia sì, sempre che $t$ non viva in un insieme troppo strano: ad esempio se $t\inI$ intervallo, per ogni $t_0$ io fisserei un $[t_0-rho, t_0+rho]$ e a quel punto la funzione ristretta alla striscia $Ktimes[t_0-rho, t_0+rho]$ è uniformemente continua, da cui credo segua la tesi.
Ma nell'ultima discussione proprio su un tema simile (compattezza locale) ho toppato clamorosamente, e quindi mi farebbe comodo l'opinione di qualcun'altro.
[edit] @V.G.E.:abbiamo scritto contemporaneamente.
Io sono d'accordo - $K$ compatto e' O.K.
Fare il passaggio al limite che chiedi è equivalente a richiedere che la funzione:
$F(t):="sup"_x |f(x,t)|=||f(\cdot, t)||_oo\quad$ (l'estremo superiore è preso sull'insieme dove varia $x$ per ogni fissato $t$)
sia continua nell'insieme in cui varia $t$.
Purtroppo è difficile trovare le condizioni sufficienti più deboli da imporre ad $f(x,t)$ affinché $F(t)$ sia continua; ad esempio la sola continuità non basta, poichè la funzione di $[0,+oo[\times RR$:
$f(x,t):=\{(0, " se " t<=0 " o " x=0),(xt, " se " 0<= t<= 1/x),(1, " se " t>=1/x):}$
è continua ma ha:
$F(t):=\{(0, " se " t<=0),(1, " se " t>0):}$
che non è continua in $t$. Ovviamente potrei aver detto una cavolata assurda, vi prego di controllare.
Se l'insieme in cui varia $x$ è compatto e quello in cui varia $t$ è localmente compatto, allora l'uniforme continuità locale di $f$ mi pare salvi capra e cavoli (come intuito da dissonance).
$F(t):="sup"_x |f(x,t)|=||f(\cdot, t)||_oo\quad$ (l'estremo superiore è preso sull'insieme dove varia $x$ per ogni fissato $t$)
sia continua nell'insieme in cui varia $t$.
Purtroppo è difficile trovare le condizioni sufficienti più deboli da imporre ad $f(x,t)$ affinché $F(t)$ sia continua; ad esempio la sola continuità non basta, poichè la funzione di $[0,+oo[\times RR$:
$f(x,t):=\{(0, " se " t<=0 " o " x=0),(xt, " se " 0<= t<= 1/x),(1, " se " t>=1/x):}$
è continua ma ha:
$F(t):=\{(0, " se " t<=0),(1, " se " t>0):}$
che non è continua in $t$. Ovviamente potrei aver detto una cavolata assurda, vi prego di controllare.
Se l'insieme in cui varia $x$ è compatto e quello in cui varia $t$ è localmente compatto, allora l'uniforme continuità locale di $f$ mi pare salvi capra e cavoli (come intuito da dissonance).
Mi pare tutto giusto.
Io ho ragionato in questi termini: se pensiamo alla $f(x,t)$ ad una famiglia di funzioni della $x$ dipendente dal parametro $t$, quando questa dipendenza è continua? (e questa è la mia domanda originaria)
Che è come dire (e questo lo suggeriva V.G.E.): quando la funzione $t\mapstof(*, t)$ è continua nel senso della convergenza uniforme?
E ancora, equivalentemente, quello che dicevi tu: quando la funzione $t\mapsto||f(*, t)||_infty$ è continua? Perciò questa affermazione mi pare giusta e in effetti è vantaggiosa: almeno abbiamo in mano qualcosa di concreto, visto che questa ultima funzione è a valori reali.
L'esempio poi mi piace proprio. In effetti quando la $t$ da negativa diventa positiva, $f(*, t)$ passa ex abrupto da essere identicamente nulla ad avere valore massimo 1. E allora hai ragione a dire che non c'è dipendenza continua dalla $t$.
Questo esempio mi serve perché sto cercando di capire sotto quali condizioni si possono fare commutare operazioni (come limiti e derivate) con gli integrali. Qui si vede chiaramente che è una cosa da non fare troppo alla leggera, infatti la funzione $I(t)=int_0^inftyf(x,t)"dx"$ vale $0$ per $t<=0$ ma diventa immediatamente $+infty$ per $t>0$.
Io ho ragionato in questi termini: se pensiamo alla $f(x,t)$ ad una famiglia di funzioni della $x$ dipendente dal parametro $t$, quando questa dipendenza è continua? (e questa è la mia domanda originaria)
Che è come dire (e questo lo suggeriva V.G.E.): quando la funzione $t\mapstof(*, t)$ è continua nel senso della convergenza uniforme?
E ancora, equivalentemente, quello che dicevi tu: quando la funzione $t\mapsto||f(*, t)||_infty$ è continua? Perciò questa affermazione mi pare giusta e in effetti è vantaggiosa: almeno abbiamo in mano qualcosa di concreto, visto che questa ultima funzione è a valori reali.
L'esempio poi mi piace proprio. In effetti quando la $t$ da negativa diventa positiva, $f(*, t)$ passa ex abrupto da essere identicamente nulla ad avere valore massimo 1. E allora hai ragione a dire che non c'è dipendenza continua dalla $t$.
Questo esempio mi serve perché sto cercando di capire sotto quali condizioni si possono fare commutare operazioni (come limiti e derivate) con gli integrali. Qui si vede chiaramente che è una cosa da non fare troppo alla leggera, infatti la funzione $I(t)=int_0^inftyf(x,t)"dx"$ vale $0$ per $t<=0$ ma diventa immediatamente $+infty$ per $t>0$.
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