Convergenza uniforme di una successione di funzioni

[franc3sc01]

Salve a tutti.

Discutere la convergenza di questa successione di funzioni $f_n(x) = (nx)/(1+nx)$ in $[0,1]$.

Benissimo.

Innanzi tutto vedo che $lim_{n to +oo} f_n(x) = lim_{n to +oo} 1/(1+1/(nx))=1$ quindi la successione converge puntualmente a 1.
Converge anche uniformemente?

Poichè $[0,1]$ è un compatto, allora mi aspetto che \(\sup\)$_{x in [0,1]}|f_n(x) - 1|$ coincida con il massimo di $g_n(x) = f_n(x) - 1$.
Mi sa che comincio a sbagliare... comunque continuo.

$g'_n(x) = n/(1+nx)^2$ con n fissato. Allora la derivata prima non si annulla mai e il massimo sarà dunque nella frontiera dell'intervallo. Ed esattamente in 1, ossia $max_{x in [0,1]}g_n(x) = g_n(1) = -1/(1+n)$ che tenda a 0 per $n to +oo$.

Ma ho sbagliato qualcosa, perchè disegnando le funzioni al variare di n, si vede palesemente che la successione non converse uniformemente. Dove sbaglio?

Grazie

[franc3sc01]

Ah, forse ho capito.
Io devo ricercare il $max_{x in [0,1]} |g_n(x)|$, che in questo caso coincide con il $|min_{x in [0,1]} g_n(x)| = |-1| = 1$ giusto?

[Hadronen]

Se $x = 0$ ... $f_n$ converge ad 1 ?

[franc3sc01]

"Hadronen":Se $x = 0$ ... $f_n$ converge ad 1 ?

No, il $|ming_n(x)|$ converge ad 1..

[Hadronen]

"franc3sc0":[quote="Hadronen"]Se $x = 0$ ... $f_n$ converge ad 1 ?

No, il $|ming_n(x)|$ converge ad 1..[/quote]

Intendo la convergenza puntuale di $f_n$ ...

[franc3sc01]

"Hadronen":[quote="franc3sc0"][quote="Hadronen"]Se $x = 0$ ... $f_n$ converge ad 1 ?

No, il $|ming_n(x)|$ converge ad 1..[/quote]

Intendo la convergenza puntuale di $f_n$ ...[/quote]

Ah ok.. quindi per convergere uniformemente, il limite puntuale deve essere lo stesso per ogni x associata.. hai ragione! Grazie mille

[MaledettaAnalisiXD]

non vorrei aver capito male... quindi chiedo.

per la convergenza puntuale il limite svolto deve essere unico per ogni valore di x giusto?
quindi questa successione NON converge puntualmente, o sbaglio?!

[Hadronen]

"franc3sc0":

Ah ok.. quindi per convergere uniformemente, il limite puntuale deve essere lo stesso per ogni x associata.. hai ragione! Grazie mille

YES YES !

[MaledettaAnalisiXD]

ok grazie

[gugo82]

"Hadronen":[quote="MaledettaAnalisiXD"]non vorrei aver capito male... quindi chiedo.

per la convergenza puntuale il limite svolto deve essere unico per ogni valore di x giusto?
quindi questa successione NON converge puntualmente, o sbaglio?!

"franc3sc0":

Ah ok.. quindi per convergere uniformemente, il limite puntuale deve essere lo stesso per ogni x associata.. hai ragione! Grazie mille

YES YES ! [/quote]
Ma "YES YES" cosa?!?!

Il limite \(\lim_n f_n(x)\) esiste (unico e finito) per ogni \(x\in [0,1]\) giacché si ha:
\[
\lim_n f_n(x) = \begin{cases} 0 &\text{, se } x=0 \\
1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
quindi la successione converge puntualmente in \([0,1]\) verso la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} 0 &\text{, se } x=0 \\
1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
La convergenza, però, non può essere uniforme: infatti, se per assurdo lo fosse, la funzione limite di \((f_n)\) dovrebbe essere una funzione continua (perchè limite uniforme di funzioni continue), il che è in palese contrasto con la definizione di \(f\).

[Hadronen]

"gugo82":
Ma "YES YES" cosa?!?!

Il limite \(\lim_n f_n(x)\) esiste (unico e finito) per ogni \(x\in [0,1]\) giacché si ha:
\[
\lim_n f_n(x) = \begin{cases} 0 &\text{, se } x=0 \\
1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
quindi la successione converge puntualmente in \([0,1]\) verso la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} 0 &\text{, se } x=0 \\
1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
La convergenza, però, non può essere uniforme: infatti, se per assurdo lo fosse, la funzione limite di \((f_n)\) dovrebbe essere una funzione continua (perchè limite uniforme di funzioni continue), il che è in palese contrasto con la definizione di \(f\).

Ma non ho detto la stessa cosa? Ho fatto fare lo stesso ragionamento a Franc3sc0.

EDIT: Ho letto uniforme per puntuale nel messaggio di MaledettaAnalisi. Tornavo da un'esame di 4 ore sull'MRA, abbiate pietà. Correggo subito!