Convergenza uniforme di una successione di funzioni
spero che qualcuno possa darmi una mano con questa successione perchè è il tipico caso in cui mi si presentano dubbi
$f_n(x)=(2nx^2+1)/(nx^2+1)*arctg(x/sqrt(n))$
per la convergenza puntuale non credo ci siano difficoltà, detto che $f_n(x)$ è asintoticamente equivalente a $(x(2nx^2+1))/(sqrt(n)(nx^2+1))$ per $n->+oo$,allora converge a zero per ogni $ x inRR$
il problema è la convergenza uniforme,qualcuno potrebbe darmi una mano,c'è un modo lecito per capire la cosa senza dover derivare?
Ho provato anche con l'M-test di Waierstrass e mi sembra che non ci sia una successione maggiorante che sia convergente,ma non riesco a dimostrarlo!
$f_n(x)=(2nx^2+1)/(nx^2+1)*arctg(x/sqrt(n))$
per la convergenza puntuale non credo ci siano difficoltà, detto che $f_n(x)$ è asintoticamente equivalente a $(x(2nx^2+1))/(sqrt(n)(nx^2+1))$ per $n->+oo$,allora converge a zero per ogni $ x inRR$
il problema è la convergenza uniforme,qualcuno potrebbe darmi una mano,c'è un modo lecito per capire la cosa senza dover derivare?
Ho provato anche con l'M-test di Waierstrass e mi sembra che non ci sia una successione maggiorante che sia convergente,ma non riesco a dimostrarlo!
Risposte
Per la convergenza uniforme dovresti studiare $lim_{n\to\infty}$sup$|f(x)_n -f(x)|$...ma potresti vedere asintoticamente come va?!$((( 2nx2+1)/(nx2+1))*(arctg(x/sqrt(n))) \sim (2*arctg(x/sqrt(n))$ e questa funzione ha sup=$\pi$...quindi nn converge se sto nell'intervallo $RR$,poichè il $lim_{n\to\infty \pi=\pi!=0$...invece se mi metto in un intervallo chiuso e limitato cambia la situazione...