Convergenza uniforme di una successione di funzioni
Buonasera a tutti,
vi scrivo per discutere con voi della dimostrazione di un classico teorema riguardante la convergenza uniforme di una successione di funzioni.
L'enunciato è il seguente:
L'implicazione "[tex]\Rightarrow[/tex]" mi è chiara. Vi riporto la dimostrazione dell'implicazione contraria che ho trovato in un libro:
Le mie perplessità sono le seguenti: l'avverbio "definitivamente", sta in questo caso per la locuzione "per ogni [tex]n\geq N[/tex]"? Se così fosse, quando si sceglie ad arbitrio [tex]\epsilon[/tex], non si trova, in generale, un [tex]N_1[/tex] distinto dall' [tex]N[/tex] dell'ipotesi? In poche parole, se valesse tutto ciò che ho detto, la tesi varrebbe per ogni [tex]n\geq \max\{N,N_1\}[/tex] e non per ogni [tex]n\geq N[/tex] come è stato scritto nel libro.
Spero di essere stato chiaro.
Vi ringrazio per l'attenzione.
vi scrivo per discutere con voi della dimostrazione di un classico teorema riguardante la convergenza uniforme di una successione di funzioni.
L'enunciato è il seguente:
Siano [tex](f_n)\in (\mathbb{R}^I)^{\mathbb{N}}[/tex]e [tex]f\in \mathbb{R}^I[/tex]. Allora [tex](f_n)[/tex] converge uniformemente ad [tex]f[/tex] in [tex]I[/tex] se e solo se sono verificate le seguenti condizioni:
1) esiste [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] tale che per ogni [tex]n\geq N[/tex] esiste [tex]\displaystyle \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|[/tex],
2) [tex]\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=0[/tex]
L'implicazione "[tex]\Rightarrow[/tex]" mi è chiara. Vi riporto la dimostrazione dell'implicazione contraria che ho trovato in un libro:
Per ogni [tex]x\in I[/tex] e definitivamente si ha [tex]|f_n(x)-f(x)|\leq \displaystyle \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|.[/tex]
Per ipotesi [tex]\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=0[/tex] , quindi assegnato ad arbitrio [tex]\epsilon>0[/tex], esiste [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] (indipendente da [tex]x[/tex]) tale che per ogni [tex]n\in\mathbb{N}:n\geq N[/tex] si ha [tex]\displaystyle \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/tex] e quindi per ogni [tex]n\in\mathbb{N}:n\geq N[/tex] e per ogni per ogni [tex]x\in I[/tex] si ha [tex]\displaystyle |f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/tex] che è la tesi.
Le mie perplessità sono le seguenti: l'avverbio "definitivamente", sta in questo caso per la locuzione "per ogni [tex]n\geq N[/tex]"? Se così fosse, quando si sceglie ad arbitrio [tex]\epsilon[/tex], non si trova, in generale, un [tex]N_1[/tex] distinto dall' [tex]N[/tex] dell'ipotesi? In poche parole, se valesse tutto ciò che ho detto, la tesi varrebbe per ogni [tex]n\geq \max\{N,N_1\}[/tex] e non per ogni [tex]n\geq N[/tex] come è stato scritto nel libro.
Spero di essere stato chiaro.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Risposte
Nessuna osservazione?
"Definitivamente" significa "se vai avanti abbastanza". La risposta a "quanto è abbastanza?" è l'\(N_1\) che tu hai trovato.
Dire che "esista \(N\)" significa dire che è necessario trovare almeno un \(N\), che per esempio può essere \(N_1\).
In altre parole, \(N\) non è un numero specifico fissato a priori, ma è costruito nella dimostrazione.
Dire che "esista \(N\)" significa dire che è necessario trovare almeno un \(N\), che per esempio può essere \(N_1\).
In altre parole, \(N\) non è un numero specifico fissato a priori, ma è costruito nella dimostrazione.
Sì, ok, questo mi è chiaro. Il mio dubbio nasce dal fatto che nella prima ipotesi si dice che la limitatezza di [tex]f_n(x)-f(x)[/tex] si ha a partire da [tex]N[/tex]. Ma nel momento in cui sfrutto la seconda ipotesi (quella del limite nullo) e assegno un [tex]\epsilon[/tex] arbitrario, chi mi garantisce che il corrispondente primo valore di [tex]n[/tex] sia proprio [tex]N[/tex]?
Mi sembra un discorso un po' contorto :S
L'\(N\) della prima ipotesi serve solo a garantire che abbia senso fare il limite, e puoi prenderlo come il più piccolo \(N\) che soddisfa 1), e quindi in particolare \(N_1\ge N\).
Nella prima frase della dimostrazione, comunque, l'avverbio incriminato è in qualche modo superfluo, perché è ovvio che se il sup di un insieme esiste, è maggiore di o uguale a tutti gli elementi.
Non so se sto rispondendo alla domanda
L'\(N\) della prima ipotesi serve solo a garantire che abbia senso fare il limite, e puoi prenderlo come il più piccolo \(N\) che soddisfa 1), e quindi in particolare \(N_1\ge N\).
Nella prima frase della dimostrazione, comunque, l'avverbio incriminato è in qualche modo superfluo, perché è ovvio che se il sup di un insieme esiste, è maggiore di o uguale a tutti gli elementi.
Non so se sto rispondendo alla domanda
Ecco, è proprio questo il punto della storia!
Siccome non abbiamo dichiarato a priori che [tex]N[/tex] è il più piccolo [tex]n[/tex] soddisfacente la 1), non possiamo dire che certamente [tex]N_1\geq N[/tex]. Di conseguenza, il primo valore di [tex]n[/tex] per il quale la tesi sarebbe acquisita sarebbe [tex]\max\{N,N_1\}[/tex], giusto?
Concordo con te nel reputare superfluo l'avverbio definitivamente e comunque, volendolo ammettere, esso non sarebbe equivalente a " per ogni [tex]n\geq N[/tex]" (visto che sotto tali ipotesi esiste il sup in questione)?
Spero di aver fatto un po' di chiarezza su questa contorta questione!
Siccome non abbiamo dichiarato a priori che [tex]N[/tex] è il più piccolo [tex]n[/tex] soddisfacente la 1), non possiamo dire che certamente [tex]N_1\geq N[/tex]. Di conseguenza, il primo valore di [tex]n[/tex] per il quale la tesi sarebbe acquisita sarebbe [tex]\max\{N,N_1\}[/tex], giusto?
Concordo con te nel reputare superfluo l'avverbio definitivamente e comunque, volendolo ammettere, esso non sarebbe equivalente a " per ogni [tex]n\geq N[/tex]" (visto che sotto tali ipotesi esiste il sup in questione)?
Spero di aver fatto un po' di chiarezza su questa contorta questione!
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