Convergenza uniforme di una successione di funzione

[Ciquis]

Data la successione di funzione : $ 2nx^2/(4+n) + (1/n)log (e^(3nx^2) + 2) $ mi è richiesto di calcolare la convergenza puntuale e uniforme; la convergenza puntuale, svolgendo il lim per n che tende a $ +\infty$ risulta essere $5x^2$.

Per calcolare la convergenza uniforme, devo impostare $ lim_(n ->infty) $ sup $ ( nx^2/(4+n) + (1/n)log (e^(3nx^2) + 2) -5x^2 )$.

A questo punto, dovrei trovare il sup della funzione, però non riesco a giungere a una conclusione..calcolare la derivata prima di questa funzione mi sembra anche inutile, suggerimenti?

[Ciquis]

È giusto considerare il fatto che la funzione pare non essere limitata su R? e quindi affermare che non converge uniformemente su R?

[Quinzio]

Siccome la funzione limite è $5x^2$, funzione continua e derivabile, ci si può aspettare un buon comportamento per la convergenza uniforme.
Infatti la funzione ovunque converge a $5x^2$, bisogna però avere l'accortezza di specificare che l'intervallo di convergenza può essere largo a piacere, ma non tutto $RR$. Cioè la funzione converge in $[a,b],\ a,b\in RR$, ma non si può dire che converge in $(-oo,+oo)$.

[Ciquis]

Ma analiticamente questo come lo dimostro? È qui che mi blocco..il ragionamento che avevo fatto io è errato?

[gugo82]

Beh, questo è un esercizio abbastanza scolastico che però può essere risolto (con un po' di fatica) senza ricorrere ai metodi del Calcolo Differenziale.

Vuoi verificare se è vero o no che risulta:
\[
\lim_n\ \sup_{x\in \mathbb{R}} \left| \frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2\right| =0
\]

Innanzitutto, nota che, per una mirabolante proprietà dei numeri interi, puoi scrivere \(5x^2=2x^2+3x^2\), perciò hai:
\[
\frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2= \underbrace{\frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 }_{\color{maroon}{\text{I}}}+ \underbrace{\frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -3x^2}_{\color{maroon}{\text{II}}} \; ,
\]
quindi, per determinare l'estremo superiore ti può essere utile andare a guardare come si comportano i due addendi I e II.

Ora, mentre si ha:
\[
\begin{split}
\frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -3x^2 &= \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -\frac{1}{n}\ 3n\ x^2 \\
&= \frac{1}{n}\ \left( \log (e^{3n\ x^2} +2) - \log e^{3n\ x^2} \right)\\
&= \frac{1}{n}\ \log (1 + 2e^{-3n\ x^2})
\end{split}
\]
quindi, dato che \(2e^{-3n\ x^2}>0\), risulta certamente:
\[
0\leq \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -3x^2 \leq \frac{1}{n}\ 2e^{-3nx^2}
\]
(per maggiorare ho usato la nota relazione di concavità \(\log (1+y) \leq y \) valida per \(y>-1\)); pertanto:
\[
0\leq \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -3x^2 \leq \frac{2}{n}\; ,
\]
e l'addendo II è limitato in \(\mathbb{R}\). Conseguentemente è:
\[
\frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 \leq \frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2 \leq \frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 +\frac{2}{n}\; .
\]

D'altra parte, per ogni indice \(n\) si ha \(\frac{2n}{n+4}\leq 2\), quindi I è sempre \(\leq 0\); però, risulta pure \(\frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 +\frac{2}{n}\leq 0\) a patto di prendere \(|x|\) sufficientemente grande: infatti:
\[
\frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 +\frac{2}{n}\leq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x^2 \geq \frac{n+4}{4n}
\]
e, poiché \(\frac{n+4}{4n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{n}\leq \frac{5}{4} < 2\), prendendo \(|x|\geq \sqrt{2}\) la disuguaglianza a primo membro della precedente equivalenza è certamente soddisfatta.
Pertanto risulta:
\[
\frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 \leq \frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2 \leq \frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 +\frac{2}{n} <0
\]
per \(|x|\geq \sqrt{2}\) e dunque:
\[
\begin{split}
\sup_{x\in \mathbb{R}} \left| \frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2 \right| &\geq \sup_{|x|\geq \sqrt{2}} \left| \frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2\right|\\
& = \sup_{|x|\geq \sqrt{2}} - \left( \frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2 \right)\\
& = -\inf_{|x|\geq \sqrt{2}} \left( \frac{2n\ x^2}{4+n} + \frac{1}{n}\ \log (e^{3n\ x^2} +2) -5x^2\right) \\
& \geq -\inf_{|x|\geq \sqrt{2}} \left( \frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2 +\frac{2}{n}\right) \\
&= - \frac{2}{n} - \inf_{|x|\geq \sqrt{2}} \left( \frac{2n\ x^2}{4+n} -2x^2\right) \\
&= - \frac{2}{n} + \sup_{|x|\geq \sqrt{2}} \frac{8}{n+4}\ x^2 \\
&= - \frac{2}{n} + \frac{8}{n+4}\ \sup_{|x|\geq \sqrt{2}} x^2 \\
&= +\infty \; .
\end{split}
\]
Ciò dimostra senza ombra di dubbio che la tua successione di funzioni non può convergere uniformemente in tutto \(\mathbb{R}\) verso il suo limite puntuale, ossia che la relazione di limite scritta all'inizio non vale.

In maniera del tutto analoga, però, si fa vedere che la successione converge uniformemente verso il suo limite in ogni insieme limitato \(B\subseteq \mathbb{R}\).