Convergenza uniforme di successioni

[claudio_p88]

ho la seguente funzione \(\displaystyle f_n(x) = x^n \) definita in \(\displaystyle I[0,1] \) la convergenza non è uniforme logicamente poichè la successione converge a 0 per \(\displaystyle x\in[0,1[\) e 1 per \(\displaystyle x = 1 \), quello che non capisco è perchè il testo mi dice che \(\displaystyle lim_{n\to\infty}sup(f_n(x)-f(x))=1 \), come faccio a stabilire quale sia f(x), visto che è 0 per \(\displaystyle x\in[0,1[\) e 1 per \(\displaystyle x = 1 \) , se f(x) = 1 non dovrebbe essere \(\displaystyle f_n(x)-f(x) = 0 \)?

[dissonance]

Ovviamente è
\begin{equation}
f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\begin{cases} 0 & x \in [0, 1) \\ 1 & x=1\end{cases}.
\end{equation}