Convergenza uniforme di successione di funzioni integrali

[andreaciceri96]

Sia $f_n: RR \to RR$ con $f_n(x)=\int_0^{x+n} (du)/(2e^u+\sin^2 u)$, determinare il dominio di convergenza puntuale e su quali sottoinsiemi la convergenza e' uniforme.

Fisso $x \in RR$, vedo che
$$f_n(x) \to \int_{0}^{+ \infty} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} = L \in (0, +\infty)$$
quindi la convergenza puntuale a $f(x)=L$ su tutto $RR$.
Siccome $f_n(x)-L$ e' una funzione continua in $x$ e crescente (poiche' l'integranda e' sempre positiva) si ha
$$|| f_n(x) - L ||_{\infty, [a,b]} = || \int_{0}^{x + n} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L ||_{\infty, [a,b]} = \int_{0}^{b + n} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L \to 0$$
quando $n \to \infty$
Dunque c'e' convergenza uniforme sui compatti (e quindi sui limitati).
Analogamente
$$|| f_n(x) - L ||_{\infty, [a,+\infty)} = || \int_{0}^{x + n} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L ||_{\infty, [a,+\infty)} = \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L \to 0$$
sempre per $n \to \infty$
E quindi c'e' convergenza uniforme anche per gli intervalli del tipo $[a, +\infty)$
Invece
$$|| f_n(x) - L ||_{\infty, (-\infty, b]} \ge |f_n(-n) - f(-n)| = | \int_0^0 \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L | = L \not \to 0$$
Dunque non c'e' convergenza uniforme su intervalli tipo $(-\infty, b]$.

Che dite? Va bene questa soluzione? E' esaustiva?

[otta96]

"zariski":Siccome $f_n(x)-L$ e' una funzione continua in $x$ e crescente (poiche' l'integranda e' sempre positiva) si ha
$$|| f_n(x) - L ||_{\infty, [a,b]} = || \int_{0}^{x + n} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L ||_{\infty, [a,b]} = \int_{0}^{b + n} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L \to 0$$
quando $n \to \infty$

No perché essendo $f$ crescente sarà $f(x)-L<=0$, quindi $|| f_n(x) - L ||_{\infty, [a,b]}=|f(a)-L|$, che comunque tende a $0$, quindi la conclusione è giusta.

Analogamente
$$|| f_n(x) - L ||_{\infty, [a,+\infty)} = || \int_{0}^{x + n} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L ||_{\infty, [a,+\infty)} = \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L \to 0$$
sempre per $n \to \infty$

Stesso errore di prima, $|| f_n(x) - L ||_{\infty, [a,+\infty)}=|f(a)-L|$, stesse conclusioni di prima.

Invece
$$|| f_n(x) - L ||_{\infty, (-\infty, b]} \ge |f_n(-n) - f(-n)| = | \int_0^0 \frac{du}{2e^u+\sin^2 u} - L | = L \not \to 0$$
Dunque non c'e' convergenza uniforme su intervalli tipo $(-\infty, b]$.

Qui non ho capito che passaggi hai fatto ma la norma infinito in questo caso vale costantemente $+\infty$ perché l'integrale a $-\infty$ è divergente, quindi non c'è convergenza uniforme.