Convergenza uniforme di successione di funzioni con sin(x)

[isa971]

Buongiorno. Mi è stato richiesto di studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente successione di funzioni $f_n(x)=n\sin(x)e^{-nx}$ con $x \in \mathbb{R}$. Studiando la convergenza puntuale trovo che il limite puntuale è $f(x)=0$ su tutto $\mathbb{R}$, ma non riesco a studiare la convergenza uniforme. In particolare devo trovare l'estremo superiore di $|f_n(x)-f(x)|$, ma essendoci il seno, e quindi una funzione periodica, trovo più di un valore e non so quale prendere. Come posso fare?

Grazie.

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[gabriella127]

Spero di avere capito il tuo dubbio, stai cercando i punti in cui si annulla la derivata.
Ma non bisogna guardare solo quello quando si fanno questi esercizi, bisogna studiare la funzione complessivamente.

Ti faccio un esempio, per capirci.

La successione di funzioni

$f_n(x) = e^((-x^2)/n)$

ha come limite puntuale $1$. Ma non converge uniformemente su $ mathbb(R) $.

Le $f_n(x)$ hanno derivata nulla in $0$, dove hanno un massimo e valgono tiutte $1$, negativa per $x >0 $ e positiva per $ x< 0 $.

Inoltre
$ lim_(x -> +-oo) f_n(x)=0 $.

Quindi $ 0< f_n(x)<=1 $.

Allora

sup$|e^((-x^2)/n) - 1|=|0-1|=1$,

($0$ è l'inf della funzione in $ mathbb(R) $),

che non va a zero, e quindi non c'è convergenza uniforme.

Ho guardato quindi il comportamento complessivo della funzione, anche per $x$ che va a infinito.