Convergenza uniforme di successione di funzioni
$f_n(x)=nln(1+x/n)$ dove converge uniformemente?
$f_(oo)=lim_(n->oo)f_n(x)=x$ quindi converge puntualmente a $x$ in $RR$.
Ora, devo calcolare $"sup"_{RR}{f_n(x) - x}$. Considero $g_n(x)=nln(1+x/n)-x$, $g_n'(x)=-x/(n+x)$ che ha massimo assoluto in $x=0$ che vale $g(0)=0$.
Quindi $"sup"_{RR}{f_n(x) - x} = 0 " "AAx in RR$, e quindi converge uniformemente in tutto $RR$.
Però il risultato di questo esercizio dovrebbe essere che converge uniformemente in $[-a,a] AA a>0$... dov'è l'errore?
Grazie
$f_(oo)=lim_(n->oo)f_n(x)=x$ quindi converge puntualmente a $x$ in $RR$.
Ora, devo calcolare $"sup"_{RR}{f_n(x) - x}$. Considero $g_n(x)=nln(1+x/n)-x$, $g_n'(x)=-x/(n+x)$ che ha massimo assoluto in $x=0$ che vale $g(0)=0$.
Quindi $"sup"_{RR}{f_n(x) - x} = 0 " "AAx in RR$, e quindi converge uniformemente in tutto $RR$.
Però il risultato di questo esercizio dovrebbe essere che converge uniformemente in $[-a,a] AA a>0$... dov'è l'errore?
Grazie
Risposte
La prima cosa che mi viene da notare è questa: non puoi calcolare $"sup"_RR |f_oo-f_n|$ perchè $f_oo-f_n$ non è definita su tutto $RR$!!!.
Infatti ogni $f_n$ è definita in $I_n:=]-n,+oo[$, mica in $RR$ ed inoltre si ha:
$\quad "sup"_(I_n) |f_oo-f_n|=+oo$ per ogni $n\in NN$
dato che nessuna funzione $f_oo-f_n$ è limitata inferiormente e che risulta $"sup"_A |g|=max\{ |"sup"_A g|, |"inf"_A g|\}$ per ogni funzione di $A$ a valori in $RR$.
Così come sono scritte le $f_n$ esse hanno come comune insieme di definizione l'intervallo $]-1,+oo[$ (infatti, giacché $f_n$ è definita in $I_n$, si ha $\bigcap_n I_n=]-1,+oo[$): ne consegue che, a meno di non definire ogni $f_n$ su tutto $RR$ (ad esempio, troncando a zero $f_n$ su $]-oo,-n]$), devi limitare il ragionamento a $]-1,+oo[$. Ciò, però, è spiacevole assai perchè essendo $\bigcup_n I_n=RR$, ogni numero reale $x$ si trova nell'insieme di definizione di $(f_n)$ definitivamente, cioè a partire da un certo indice in poi (per la precisione a partire da $\nu=[-x]+1$, ove le $[\cdot]$ denotano la parte intera, se $x<=-1$ o da $\nu=1$ se $x> -1$): allora sarebbe meglio procedere al prolungamento delle $f_n$.
Infatti ogni $f_n$ è definita in $I_n:=]-n,+oo[$, mica in $RR$ ed inoltre si ha:
$\quad "sup"_(I_n) |f_oo-f_n|=+oo$ per ogni $n\in NN$
dato che nessuna funzione $f_oo-f_n$ è limitata inferiormente e che risulta $"sup"_A |g|=max\{ |"sup"_A g|, |"inf"_A g|\}$ per ogni funzione di $A$ a valori in $RR$.
Così come sono scritte le $f_n$ esse hanno come comune insieme di definizione l'intervallo $]-1,+oo[$ (infatti, giacché $f_n$ è definita in $I_n$, si ha $\bigcap_n I_n=]-1,+oo[$): ne consegue che, a meno di non definire ogni $f_n$ su tutto $RR$ (ad esempio, troncando a zero $f_n$ su $]-oo,-n]$), devi limitare il ragionamento a $]-1,+oo[$. Ciò, però, è spiacevole assai perchè essendo $\bigcup_n I_n=RR$, ogni numero reale $x$ si trova nell'insieme di definizione di $(f_n)$ definitivamente, cioè a partire da un certo indice in poi (per la precisione a partire da $\nu=[-x]+1$, ove le $[\cdot]$ denotano la parte intera, se $x<=-1$ o da $\nu=1$ se $x> -1$): allora sarebbe meglio procedere al prolungamento delle $f_n$.
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