Convergenza uniforme della serie x/n^2

[panciotto]

come da titolo:

[tex]\sum x/n^2[/tex]

la convergenza totale vale certamente se [tex]|x|<1[/tex] e questo implica quella uniforme... ma per tutte le altre x? è giusto affermare che per ogni n della serie esiste almeno un x tale che il limite per n che tende a infinito dell'estremo superiore del rapporto [tex]x/n^2[/tex] sia diverso da 0?

quindi la convergenza uniforme non vale su R?

[Gi81]

Scusa ma la serie è questa? \[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^2}\]
Dato che $x$ non dipende da $n$, puoi portarlo fuori dalla sommatoria: $x * sum_{n=1}^{+oo}1/n^2= x* pi^2/6$

[panciotto]

ok, ma questo garantisce comunque la convergenza uniforme per qualunque x appartenente a R?

[gugo82]

No.
Ti garantisce solo la convergenza uniforme sui compatti (o sui limitati).

Dato che la tua serie si scrive:
\[
x\ \sum \frac{1}{n^2}
\]
essa converge puntualmente alla funzione lineare \(s(x)=S\ x\), ove \(S=\sum_{n=0}^\infty 1/n^2\); se provi a formare le somme parziali \(s_N\) della serie e lo scarto dalla somma \(s\), trovi:
\[
|s_n(x)-s(x)| = \left( S-\sum_{n=0}^N \frac{1}{n^2}\right)\ |x| = \left(\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)\ |x|\; ;
\]
vedi da te che per ogni \(X\subseteq \mathbb{R}\) risulta:
\[
\sup_{x\in X} |s_n(x)-s(x)| = \left( \sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)\ \sup_{x\in X} |x|\; ;
\]
dato che \(\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2} \to 0\) quando \(N\to \infty\), affinche ci sia convergenza uniforme in \(X\) occorre e basta che esista una costante \(M\geq 0\) tale che \(|x|\leq M\) per ogni \(x\in X\), ossia occorre e basta che \(X\) sia limitato.

In particolare, su \(X=\mathbb{R}\) la serie non può convergere uniformemente.

[panciotto]

ok, grazie per la risposta, ora è tutto chiaro!