Convergenza uniforme della serie di Fourier
Ho una domanda da porvi, e scusatemi fin d'ora per la sua banalità. Nella dimostrazione dalla convergenza uniforme della serie di Fourier nel fare ricorso alla disuguaglianza di Bessel applicata alla derivata della funzione f(x), si definisce quest'ultima come integrabile e limitata. Da cosa deriva il fatto che sia limitata?
Ricordo che f(x) è continua, regolare a tratti e periodica di periodo 2pigreco. Essendo rappresentabile come serie di Fourier dovrebbe essere anche a quadrato sommabile. A mio avviso è ciò a garantire che essa stessa e la sua derivata siano limitate, e che, dunque, l'integrale di |f'(x)|^2 sia finito; in altri termini essere a quadrato sommabile dovrebbe implicare essere limitato. Ho detto una sciocchezza?
Grazie.
Ricordo che f(x) è continua, regolare a tratti e periodica di periodo 2pigreco. Essendo rappresentabile come serie di Fourier dovrebbe essere anche a quadrato sommabile. A mio avviso è ciò a garantire che essa stessa e la sua derivata siano limitate, e che, dunque, l'integrale di |f'(x)|^2 sia finito; in altri termini essere a quadrato sommabile dovrebbe implicare essere limitato. Ho detto una sciocchezza?
Grazie.
Risposte
per avere la convergenza uniforme basta che la funzione sia di classe $C^1$ nell' intervallo in cui è definita
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