Convergenza uniforme della serie
ho $sum_(n=0)^(+oo) (3^x-2)^n/(n+n^x)$ $AAx in R$
ho trovato che converge puntualmente in $[0,1)$
per la convergenza uniforme (chiamo $f_n(x)$ il termine generale): sup$_[0,1) |f_n(x)|<=$sup$_[0,1) 1/(n+n^x)=1/(n+1)$ (termine generale serie divergente)
non ho convergenza totale in $[0,1)$ e quindi devo guardare negli intervalli tipo $[0,M)$ e $[M,1)$?
ho trovato che converge puntualmente in $[0,1)$
per la convergenza uniforme (chiamo $f_n(x)$ il termine generale): sup$_[0,1) |f_n(x)|<=$sup$_[0,1) 1/(n+n^x)=1/(n+1)$ (termine generale serie divergente)
non ho convergenza totale in $[0,1)$ e quindi devo guardare negli intervalli tipo $[0,M)$ e $[M,1)$?
Risposte
Non mi trovo con la convergenza puntuale...ti dispiace postare qualche passaggio!?...grazie^^
1)se x=0 ho $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n 1/(n+1)$ che converge per il criterio li Leibniz
2)se 0+oo)root (n)(((3^x-2)^n)/n)=|3^x-2|<1$ e quindi converge
3)se x=1 $sum_(n=0)^(+oo) 1/(2n)$ serie divergente
4)se x>1 il termine generale è asintotico a $((3^x-2)^n)/(n^x)$ e come nel caso due ottengo $|3^x-2|>1$ non converge
5) se x<0 il termine generale è asintotico a $((3^x-2)^n)/n$ e come nel caso due ottengo $|3^x-2|>1$ non converge
2)se 0
3)se x=1 $sum_(n=0)^(+oo) 1/(2n)$ serie divergente
4)se x>1 il termine generale è asintotico a $((3^x-2)^n)/(n^x)$ e come nel caso due ottengo $|3^x-2|>1$ non converge
5) se x<0 il termine generale è asintotico a $((3^x-2)^n)/n$ e come nel caso due ottengo $|3^x-2|>1$ non converge
Ti ho chiesto dei chiarimenti perchè facendo un ragionamento sono arrivato a questa conclusione:
Allora ho iniziato l'esercizio andando a studiare la condizione necessaria per la convergenza, senza la quale non ha senso applicare i criteri di convergenza e ho studiato le condizioni per cui:
$lim_(n->+oo)(3^x-2)^n/(n+n^x)=0$
Dato che al variare di $n in NN$ il numeratore è una successione esponenziale mentre al denominatore ho successioni potenza, ho pensato di concentrarmi sul numeratore e mi sono accorto che la condizione sopra scritta è vera se:
$0<3^x-2<1 <=> log_(3)2
da cui ricavo una prima condizione utile nella ricerca dell'intervallo di convergenza puntuale. Da qui posso applicare ad esempio il criterio della radice alla serie e vedere per quali $x in (log_(3)2,1)$ converge puntualmente. Ti trovi!?
Allora ho iniziato l'esercizio andando a studiare la condizione necessaria per la convergenza, senza la quale non ha senso applicare i criteri di convergenza e ho studiato le condizioni per cui:
$lim_(n->+oo)(3^x-2)^n/(n+n^x)=0$
Dato che al variare di $n in NN$ il numeratore è una successione esponenziale mentre al denominatore ho successioni potenza, ho pensato di concentrarmi sul numeratore e mi sono accorto che la condizione sopra scritta è vera se:
$0<3^x-2<1 <=> log_(3)2
da cui ricavo una prima condizione utile nella ricerca dell'intervallo di convergenza puntuale. Da qui posso applicare ad esempio il criterio della radice alla serie e vedere per quali $x in (log_(3)2,1)$ converge puntualmente. Ti trovi!?
però non sono solo quelli i valori per cui converge puntualmente.dal mio ragionamento risulta anche x=0.
ho sbagliato?
ho sbagliato?
No ma infatti non sono solo quelli.
Secondo me tu sbagli perchè ti butti subito sull'applicazione dei criteri per la convergenza puntuale, senza studiare la condizione necessaria per la convergenza. Tale condizione si studia prima di passare ai vari criteri, perchè potrebbe accadere che questa condizione non sia verificata per nessun valore di x e quindi è inutile applicare i suddetti criteri.
Quando studi i valori di x per cui:
$lim_(n->+oo)(3^x-2)^n/(n+n^x)=0$
inizi a capire in quale intervallo puoi sperare di avere convergenza puntuale.
Secondo me tu sbagli perchè ti butti subito sull'applicazione dei criteri per la convergenza puntuale, senza studiare la condizione necessaria per la convergenza. Tale condizione si studia prima di passare ai vari criteri, perchè potrebbe accadere che questa condizione non sia verificata per nessun valore di x e quindi è inutile applicare i suddetti criteri.
Quando studi i valori di x per cui:
$lim_(n->+oo)(3^x-2)^n/(n+n^x)=0$
inizi a capire in quale intervallo puoi sperare di avere convergenza puntuale.
grazie e per la convergenza uniforme?
Per l'uniforme io direi a questo punto che: dato che non sappiamo quale sia la somma della serie mi sa che conviene studiare direttamente la convergenza totale, in modo da sfruttare la proposizione "conv. totale implica conv. uniforme". Quindi occupiamoci di studiare questa condizione:
$sum_(n=1)^(+oo)|f_n(x)|<=sum_(n=1)^(+oo)M_n<+oo$
Con $M_n$ successione numerica. In poche parole, riprendendo la definizione di conv. totale, quello che si fa vedere, è per quali valori di x posso maggiorare la serie al primo membro con una serie numerica convergente.
Ci penso un pò...
$sum_(n=1)^(+oo)|f_n(x)|<=sum_(n=1)^(+oo)M_n<+oo$
Con $M_n$ successione numerica. In poche parole, riprendendo la definizione di conv. totale, quello che si fa vedere, è per quali valori di x posso maggiorare la serie al primo membro con una serie numerica convergente.
Ci penso un pò...
Se ci mettiamo nell'intervallo $I=(log_(3)2,1)$ per lo studio della convergenza totale, allora sono arrivato a questa conclusione:
$sum_(n=1)^(+oo)|(3^x-2)^n/(n+n^x)|<=sum_(n=1)^(+oo)1/n$ la quale è una serie armonica divergente.
Quindi nell'intervallo I non ci dovrebbe essere convergenza totale...
$sum_(n=1)^(+oo)|(3^x-2)^n/(n+n^x)|<=sum_(n=1)^(+oo)1/n$ la quale è una serie armonica divergente.
Quindi nell'intervallo I non ci dovrebbe essere convergenza totale...
anche se non c'è la totale potrei avere quella uniforme?
lo stesso problema ce l'ho studiando questa serie $sum_(n=0)^(+oo) (x+1)^n log(1+n^x)$
ho trovato convergenza puntuale in $[-2,0)$ ma non convergenza totale
ps: se ho una serie come questa $sum_(n=0)^(+oo) (x^n+n)/(1+n^2)$ posso scriverla come somma di due serie di termine generale $(x^n)/(1+n^2)$ e $n/(1+n^2)$.il secondo è asintotico a $1/n$ (termine generale serie divergente) posso dire che la serie data non converge nè puntualmente nè uniformemente?
lo stesso problema ce l'ho studiando questa serie $sum_(n=0)^(+oo) (x+1)^n log(1+n^x)$
ho trovato convergenza puntuale in $[-2,0)$ ma non convergenza totale
ps: se ho una serie come questa $sum_(n=0)^(+oo) (x^n+n)/(1+n^2)$ posso scriverla come somma di due serie di termine generale $(x^n)/(1+n^2)$ e $n/(1+n^2)$.il secondo è asintotico a $1/n$ (termine generale serie divergente) posso dire che la serie data non converge nè puntualmente nè uniformemente?
Per quanto riguarda la prima domanda, la risposta è Si...potresti comunque avere convergenza uniforme.
Per le altre dammi un attimo di tempo per pensarci perchè sono sotto esame e il tempo per dilettarmi con altri esercizi è davvero poco...purtroppo!
Per le altre dammi un attimo di tempo per pensarci perchè sono sotto esame e il tempo per dilettarmi con altri esercizi è davvero poco...purtroppo!
"gbspeedy":
ps: se ho una serie come questa $sum_(n=0)^(+oo) (x^n+n)/(1+n^2)$ posso scriverla come somma di due serie di termine generale $(x^n)/(1+n^2)$ e $n/(1+n^2)$.il secondo è asintotico a $1/n$ (termine generale serie divergente) posso dire che la serie data non converge nè puntualmente nè uniformemente?
Mi sembra corretto
perchè se diverge, significa che non converge puntualmente nè tantomeno uniformemente.quoto lorin per le risposte precedenti
Ti ringrazio...anzi se tu o qualcun altro volete aggiungere qualcosa penso che possa giovare all'utente...^^
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