Convergenza uniforme da convergenza integrale

[afullo]

È vero che una successione di funzioni [tex]C^1[/tex] (non strettamente) positive su di un intervallo chiuso, il cui integrale tende a 0, tali per cui esiste una costante che limita tutte le loro derivate (prime), tende uniformemente a zero?

Rimuovendo l'ipotesi di limitazione sulle derivate è falso, e un esempio classico è dato dalla successione [tex]f_n(x)=x^n[/tex] su [tex][0,1][/tex]. Però in questo caso la derivata generica all'estremo destro vale n, e dunque non può valere una costante che limita tutte le loro derivate prime.

Inserendo quell'ipotesi, invece, mi viene difficile pensare che possa essere altrimenti. Se l'integrale tende a 0 la funzione tende ad essere quasi nulla ovunque, e l'unica funzione nulla q.o che è anche continua (il fatto che ci sia questa limitazione sulle derivate dovrebbe impedire la convergenza, ovviamente in quel caso solo puntuale e non uniforme, ad una funzione discontinua) è la funzione identicamente nulla, no? Poi se si aggiunge anche il fatto che la successione sia decrescente potrebbe essere fatto rientrare pure il lemma di Dini, e basterebbe ricondursi alla convergenza puntuale...

Grazie in anticipo

[dissonance]

Secondo me è vero e si può dimostrare con un argomento di Ascoli-Arzelà. L'equilimitatezza delle derivate ti dice che la successione è equicontinua, e con il teorema fondamentale del calcolo dovresti poter dimostrare anche che essa è equilimitata. Ogni estratta ha quindi una estratta uniformemente convergente. Eccetera.