Convergenza uniforme

[thedarkhero]

Considero $(1+x/n)^n$ e mi chiedo se questa successione di funzioni converge uniformemente a $e^x$ sulla semiretta $x>=0$.
Ho già mostrato che la convergenza uniforme si ha su ogni intervallo $[0,M]$ con $M>0$ ma come faccio a sapere se si ha anche sull'intervallo $[0,oo)$?

[.sm.12]

"thedarkhero":Considero $(1+x/n)^n$ e mi chiedo se questa successione di funzioni converge uniformemente a $e^x$ sulla semiretta $x>=0$.
Ho già mostrato che la convergenza uniforme si ha su ogni intervallo $[0,M]$ con $M>0$ ma come faccio a sapere se si ha anche sull'intervallo $[0,oo)$?

Già, hai finito. Visto che vale nell'intervallo $[0,M] \ \forall M \in mathbb{R^+}$ allora vale anche in $[0,+infty)$

[Rigel1]

".sm.":Visto che vale nell'intervallo $[0,M] \ \forall M \in mathbb{R^+}$ allora vale anche in $[0,+infty)$

Su questo avrei qualche dubbio; infatti, per ogni \(n\in\mathbb{N}\),
\[
\lim_{x\to + \infty} \left[e^x - \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\right] = +\infty.
\]

[thedarkhero]

Quindi il problema è che nell'intorno di $+oo$ la funzione $f_n$ per n fissato non converge, dunque non può convergere puntualmente e quindi neanche uniformemente?

[Rigel1]

No; la successione converge puntualmente su \([0,+\infty)\) e uniformemente su tutti i suoi sottoinsiemi limitati.

[thedarkhero]

Ma come faccio a vedere che non converge uniformemente su tutto $[0,+oo)$?

[gugo82]

Hai provato a farti un'idea di quanto valga \(\sup_{x\geq 0} |e^x -(1+x/n)^n|\)?

[thedarkhero]

Va a $oo$, dunque non puo' esserci convergenza uniforme in un intorno di $oo$. Grazie mille!

[gugo82]

"thedarkhero":Va a $oo$

Non "va a \(+\infty\)", ma "è \(+\infty\)".