Convergenza uniforme
La serie $(-1) ^k / k$ converge uniformemente? Ho calcolato la convergenza semplice con Libinz come procedo per la uniforme?
Risposte
Non ho mai sentito parlare di convergenza uniforme per serie numeriche..
Secondo me intendeva parlare di convergenza assoluta, visto che rammenta la convergenza semplice ed il criterio di Leibniz.
Se così è il caso, basta notare che
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left | \frac{(-1)^k}{k} \right | =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/tex]
e si conclude subito.
Se così è il caso, basta notare che
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left | \frac{(-1)^k}{k} \right | =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/tex]
e si conclude subito.
no intendevo quella uniforme, infatti il libro la usa come esempio per dimostrare che ci sono serie che convergono uniformemente ma non totalmente..
Una serie numerica non è altro che una serie di funzioni costanti.
Ovviamente, per una serie di questo tipo, la convergenza semplice e la convergenza uniforme sono la stessa identica cosa; ed, analogamente, la convergenza totale e la convergenza assoluta sono la stessa identica cosa.
Quindi, dato che la serie numerica in questione converge, essa converge uniformemente come serie di funzioni; e, visto che la serie numerica non converge assolutamente, essa non può convergere totalmente come serie di funzioni.
Se si vuole fare tutto il ragionamento, basta procedere così.
Detta [tex]$S$[/tex] la somma della serie, per fissato [tex]$n$[/tex] si ha:
[tex]$\left| \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k} -S \right| \leq \frac{1}{n+1}$[/tex]
(questa stima del resto segue dall'enunciato del teorema di Leibniz); dato che [tex]$\tfrac{1}{n+1} \to 0$[/tex] decrescendo, scelto [tex]$\varepsilon >0$[/tex], si può trovare [tex]$\nu$[/tex] tale che per [tex]$n>\nu$[/tex] si abbia:
[tex]$\left| \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k} -S \right| \leq \frac{1}{n+1}<\frac{1}{\nu +1}<\varepsilon$[/tex],
quindi la convergenza è uniforme (perchè [tex]$\nu$[/tex] dipende solo da [tex]$\varepsilon$[/tex]).
D'altro canto, la convergenza non può essere totale: infattiaffinché lo fosse la serie [tex]\sum |\frac{(-1)^k}{k}| =\sum \frac{1}{k}[/tex] dovrebbe convergere, contro il fatto che diverge in quanto armonica.
Ovviamente, per una serie di questo tipo, la convergenza semplice e la convergenza uniforme sono la stessa identica cosa; ed, analogamente, la convergenza totale e la convergenza assoluta sono la stessa identica cosa.
Quindi, dato che la serie numerica in questione converge, essa converge uniformemente come serie di funzioni; e, visto che la serie numerica non converge assolutamente, essa non può convergere totalmente come serie di funzioni.
Se si vuole fare tutto il ragionamento, basta procedere così.
Detta [tex]$S$[/tex] la somma della serie, per fissato [tex]$n$[/tex] si ha:
[tex]$\left| \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k} -S \right| \leq \frac{1}{n+1}$[/tex]
(questa stima del resto segue dall'enunciato del teorema di Leibniz); dato che [tex]$\tfrac{1}{n+1} \to 0$[/tex] decrescendo, scelto [tex]$\varepsilon >0$[/tex], si può trovare [tex]$\nu$[/tex] tale che per [tex]$n>\nu$[/tex] si abbia:
[tex]$\left| \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k} -S \right| \leq \frac{1}{n+1}<\frac{1}{\nu +1}<\varepsilon$[/tex],
quindi la convergenza è uniforme (perchè [tex]$\nu$[/tex] dipende solo da [tex]$\varepsilon$[/tex]).
D'altro canto, la convergenza non può essere totale: infattiaffinché lo fosse la serie [tex]\sum |\frac{(-1)^k}{k}| =\sum \frac{1}{k}[/tex] dovrebbe convergere, contro il fatto che diverge in quanto armonica.
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