Convergenza uniforme
Ciao ragazzi sono nuovo di questo forum. Tra poco devo svolgere un esame di analisi 2 e ho dei problemi.
Stabilire per quali valori di a > 0 la serie di funzioni converge uniformemente su R^2.
$\sum_{n=1}^infty ( (xy) / (n^2 + |xy|^a))$
Allora io calcolerei il limite puntuale
che mi viene
0 in tutti i casi
ma poi come faccio a trovare se converge uniformemente??
dovrei fare il $lim_(n->oo)(text(sup) ( (xy) / (n^2 + |xy|^a) - 0) )$
è corretto?? però non so risolverlo...
Grazie a tutti
Stabilire per quali valori di a > 0 la serie di funzioni converge uniformemente su R^2.
$\sum_{n=1}^infty ( (xy) / (n^2 + |xy|^a))$
Allora io calcolerei il limite puntuale
che mi viene
0 in tutti i casi
ma poi come faccio a trovare se converge uniformemente??
dovrei fare il $lim_(n->oo)(text(sup) ( (xy) / (n^2 + |xy|^a) - 0) )$
è corretto?? però non so risolverlo...
Grazie a tutti
Risposte
Guarda che è il limite degli addendi ad essere nullo (condizione necessaria alla convergenza di qualunque serie), mica la somma della serie.
Il problema della convergenza uniforme per le serie è difficile (ciò per varie ragioni: una di queste è trovare effettivamente la somma della serie, che non è immediato come per il limite di una successione), perciò ti consiglio di andare a valutare se è possibile la convergenza totale in tutto $RR^2$.
Per valutare se è possibile la convergenza totale, devi determinare per ogni $n$ il valore:
$M_n(a):="sup"_((x,y)\in RR^2) |xy|/(n^2+|xy|^a)$
(evidentemente $M_n(a)$ coincide col massimo assoluto di $f_n(x,y;a):=|xy|/(n^2+|xy|^a)$ nel caso in cui $f_n$ è dotata di massimo assoluto) e poi guardare se la serie a termini non negativi $\sum M_n(a)$ è convergente.
Nel nostro caso, vista la presenza del parametro $a$, è possibile che per certi valori di $a$ la serie risulti convergente e che per altri valori di $a$ la serie risulti divergente.
Se $\sum M_n(a)$ è convergente allora la tua serie di funzioni è totalmente convergente e dunque essa converge pure uniformemente.
Se invece $\sum M_n(a)$ è divergente, allora la serie di funzioni non è totalmente convergente e non puoi concludere niente in generale sulla convergenza uniforme.
Se ti va, posta un po' di risultati in tal senso, così vediamo che succede.
Un suggerimento: quando vai a studiare la funzione $f_n(x,y;a)$ puoi ricondurti ad una funzione di una sola variabile non negativa con la sostituzione $z=|xy|$: infatti è facile constatare che:
$M_n(a)="sup"_(z>=0) z/(n^2+z^a) \quad$.
Il problema della convergenza uniforme per le serie è difficile (ciò per varie ragioni: una di queste è trovare effettivamente la somma della serie, che non è immediato come per il limite di una successione), perciò ti consiglio di andare a valutare se è possibile la convergenza totale in tutto $RR^2$.
Per valutare se è possibile la convergenza totale, devi determinare per ogni $n$ il valore:
$M_n(a):="sup"_((x,y)\in RR^2) |xy|/(n^2+|xy|^a)$
(evidentemente $M_n(a)$ coincide col massimo assoluto di $f_n(x,y;a):=|xy|/(n^2+|xy|^a)$ nel caso in cui $f_n$ è dotata di massimo assoluto) e poi guardare se la serie a termini non negativi $\sum M_n(a)$ è convergente.
Nel nostro caso, vista la presenza del parametro $a$, è possibile che per certi valori di $a$ la serie risulti convergente e che per altri valori di $a$ la serie risulti divergente.
Se $\sum M_n(a)$ è convergente allora la tua serie di funzioni è totalmente convergente e dunque essa converge pure uniformemente.
Se invece $\sum M_n(a)$ è divergente, allora la serie di funzioni non è totalmente convergente e non puoi concludere niente in generale sulla convergenza uniforme.
Se ti va, posta un po' di risultati in tal senso, così vediamo che succede.
Un suggerimento: quando vai a studiare la funzione $f_n(x,y;a)$ puoi ricondurti ad una funzione di una sola variabile non negativa con la sostituzione $z=|xy|$: infatti è facile constatare che:
$M_n(a)="sup"_(z>=0) z/(n^2+z^a) \quad$.
giusto hai ragione ero abituato a farli senza la serie che proprio l'ho ignorata.
Ma quindi posso ricondurmi ad una serie maggiore del tipo
$\ \sum_{n=1}^oo ((xy)/(n^2 * |xy|^a)) -< \sum_{n=1}^oo ((1)/(n^2))$
e questa serie è sempre convergente perche serie armonica di ragione 2??
e poi vedere se questa serie converge uniformemente??
Scusa se ti rompo ma questo argomento all'uni è stato svolto si e no in 3 ore
Ma quindi posso ricondurmi ad una serie maggiore del tipo
$\ \sum_{n=1}^oo ((xy)/(n^2 * |xy|^a)) -< \sum_{n=1}^oo ((1)/(n^2))$
e questa serie è sempre convergente perche serie armonica di ragione 2??
e poi vedere se questa serie converge uniformemente??
Scusa se ti rompo ma questo argomento all'uni è stato svolto si e no in 3 ore
Scusa paolo123, ma nell'addendo della tua serie c'è $+$ o $*$ al denominatore?
Nel caso ci sia $*$ puoi effettivamente maggiorare il tutto con una serie multipla dell'armonica generalizzata (però non in tutto $RR^2$, stai attento); se c'è $+$, invece, temo tu debba fare un po' di conti in più.
Nel caso ci sia $*$ puoi effettivamente maggiorare il tutto con una serie multipla dell'armonica generalizzata (però non in tutto $RR^2$, stai attento); se c'è $+$, invece, temo tu debba fare un po' di conti in più.
scusami ho sbagliato io c'è + .
Quindi dici che non si possa fare
$\sum_{n=1}^infty ( (xy) / (n^2 + |xy|^a)) -< \sum_{n=1}^infty ( (xy) / (n^2)) = (xy) * \sum_{n=1}^infty ( (1) / (n^2))$
perchè dici che non va bene su tutto $R^2$ ?? in che casi non va bene?
Quindi dici che non si possa fare
$\sum_{n=1}^infty ( (xy) / (n^2 + |xy|^a)) -< \sum_{n=1}^infty ( (xy) / (n^2)) = (xy) * \sum_{n=1}^infty ( (1) / (n^2))$
perchè dici che non va bene su tutto $R^2$ ?? in che casi non va bene?
Nel caso ci fosse stato un $*$ la maggiorazione non sarebbe andata bene su tutto $RR^2$ nel caso $a!=1$: questo perchè la funzione $1/|xy|^(a-1)$ esplode in $o:=(0,0)$ se $a>1$, mentre $|xy|^(a-1)$ va all'infinito se $a<1$.
Ad ogni modo dalla tua maggiorazione mi pare che si possa concludere la convergenza assoluta (quindi la convergenza puntuale), ma non quella uniforme...
Ad ogni modo dalla tua maggiorazione mi pare che si possa concludere la convergenza assoluta (quindi la convergenza puntuale), ma non quella uniforme...
E come si fa a stabilire che non converge uniformemente??
Cioè perchè dici che non converge uniformemente?
Cioè perchè dici che non converge uniformemente?
La maggiorazione dipende ancora da $(x,y)$, quindi non ti può assicurare convergenza uniforme* a meno che tu non faccia in modo da mantenere limitato il prodotto $|xy|$: questo si può fare prendendo $(x,y)$ in un compatto $K\subseteq RR^2$.
Questo ragionamento mostra che la convergenza della serie è addirittura totale (quindi uniforme ed assoluta) in ogni compatto di $RR^2$, ma non ti serve per stabilire che la serie converge uniformemente in tutto $RR^2$; in altre parole, questo ragionamento può essere usato per garantire convergenza uniforme "in piccolo" ma non "in grande".
__________
* Ad esempio, fissati $n>m$, volendo applicare Cauchy trovi:
$|\sum_(h=1)^(n) (xy)/(h^2+|xy|^a)-\sum_(h=1)^(m) (xy)/(h^2+|xy|^a)|=|\sum_(h=m+1)^(n) (xy)/(h^2+|xy|^a)|<= |xy|\sum_(h=m+1)^(n)1/h^2<|xy|\sum_(h=m+1)^(+oo)1/h^2\quad$;
visto che a secondo membro c'è una quantità che dipende pesantemente da come scegli $(x,y)$ in $RR^2$ (ad esempio se prendi $x=y$ trovi $|xy|=x^2$ e tale funzione non è limitata superiormente) è evidente che non puoi passare all'estremo superiore impunemente, quindi non puoi concludere convergenza uniforme in tutto $RR^2$.
Questo ragionamento mostra che la convergenza della serie è addirittura totale (quindi uniforme ed assoluta) in ogni compatto di $RR^2$, ma non ti serve per stabilire che la serie converge uniformemente in tutto $RR^2$; in altre parole, questo ragionamento può essere usato per garantire convergenza uniforme "in piccolo" ma non "in grande".
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* Ad esempio, fissati $n>m$, volendo applicare Cauchy trovi:
$|\sum_(h=1)^(n) (xy)/(h^2+|xy|^a)-\sum_(h=1)^(m) (xy)/(h^2+|xy|^a)|=|\sum_(h=m+1)^(n) (xy)/(h^2+|xy|^a)|<= |xy|\sum_(h=m+1)^(n)1/h^2<|xy|\sum_(h=m+1)^(+oo)1/h^2\quad$;
visto che a secondo membro c'è una quantità che dipende pesantemente da come scegli $(x,y)$ in $RR^2$ (ad esempio se prendi $x=y$ trovi $|xy|=x^2$ e tale funzione non è limitata superiormente) è evidente che non puoi passare all'estremo superiore impunemente, quindi non puoi concludere convergenza uniforme in tutto $RR^2$.
an ok grazie mille quindi quando io vado a cercare l'estremo superiore verifico che a meno che non siamo in un compatto non esiste un limite superiore perchè tende ad infinito.
ma quindi alla domanda del problema che chiede "Stabilire per quali valori di a > 0 la serie di funzioni converge uniformemente su $R^2$ " la risposta è che per qualsiasi valore di a>0 la serie di funzioni non converge mai uniformemente a meno che non siamo in un compatto k
ma quindi alla domanda del problema che chiede "Stabilire per quali valori di a > 0 la serie di funzioni converge uniformemente su $R^2$ " la risposta è che per qualsiasi valore di a>0 la serie di funzioni non converge mai uniformemente a meno che non siamo in un compatto k
La risposta è: "Con la maggiorazione che hai postato concludi solo la convergenza uniforme sui compatti, il che non esclude che ci possa essere convergenza uniforme anche 'in grande'. Se vuoi sapere qualcosa sulla convergenza totale (e quindi uniforme) su tutto $RR^2$ devi fare i conti come ti ho suggerito nel mio primo post."
Spero di essermi spiegato.
Spero di essermi spiegato.
bo diciamo che in teoria un pò ho capito ma in pratica non so proprio come fare.
Prendi $f_n(x,y;a):=|xy|/(n^2+|xy|^a)$: il nostro scopo è trovare, per ogni $n$ e per ogni $a$, il valore $M_n(a):="sup"_((x,y) in RR^2) f_n(x,y;a)$.
Facciamo la sostituzione $z=|xy|$ in modo da trasformare $f_n(x,y;a)$ in una funzione di una variabile $g_n(z;a)$ definita in $[0,+oo[$: sostituendo troviamo $g_n(z;a):=z/(n^2+z^a)$; converrai con me che risulta:
$"sup"_(z>=0) g_n(z;a)="sup"_((x,y) in RR^2) f_n(x,y;a) = M_n(a)\quad$,
quindi basta studiare $g_n(z;a)$ per ricavare le informazioni che ci servono.
Distinguiamo un po' di casi:
1) Per $0
2) Per $a=1$, è facile dimostrare che per ogni $n$ si ha $M_n(a)="sup"_(z>=0)g_n(z;a)=1$; la serie $\sum_(n=1)^(+oo) M_n(a)$ è chiaramente divergente e perciò nemmeno in questo caso la serie converge totalmente in $RR^2$.
3) Per $a>1$, ogni $g_n(z;a)$ è infinitesima all'infinito ed indefinitamente derivabile; facendo un po' di calcoli con le derivate si trova che $g_n(z;a)$ prende massimo in $z=(n^2/(a-1))^(1/a)$, che tale massimo è assoluto e che vale:
$M_n(a)=max_(z>=0) g_n(z;a)=((a-1)^(1-1/a))/a*1/n^(2-2/a) \quad$;
la serie $\sum_(n=1)^(+oo) M_n(a)=((a-1)^(1-1/a))/a*\sum_(n=1)^(+oo)1/n^(2-2/a)$ è multipla di una serie armonica generalizzata, quindi converge se e solo se risulta $2-2/a>1$: quest'ultima disuguaglianza è verificata se e solo se:
$2/a<1 \Leftrightarrow a>2$.
Ne viene che la tua serie di funzioni converge totalmente in $RR^2$ se $a>2$, mentre non converge totalmente per $1
Ricapitolando: la serie $\sum (xy)/(n^2+|xy|^a)$ è totalmente (quindi pure uniformemente) convergente sui compatti per ogni valore di $a>0$; in più se $a>2$ allora essa è convergente totalmente (quindi pure uniformemente) in tutto $RR^2$.
Ecco fatto.
Bastava fare due conticini.
P.S.: Ovviamente sarebbe cosa buona e giusta ricontrollare i calcoli, data l'ora...
Facciamo la sostituzione $z=|xy|$ in modo da trasformare $f_n(x,y;a)$ in una funzione di una variabile $g_n(z;a)$ definita in $[0,+oo[$: sostituendo troviamo $g_n(z;a):=z/(n^2+z^a)$; converrai con me che risulta:
$"sup"_(z>=0) g_n(z;a)="sup"_((x,y) in RR^2) f_n(x,y;a) = M_n(a)\quad$,
quindi basta studiare $g_n(z;a)$ per ricavare le informazioni che ci servono.
Distinguiamo un po' di casi:
1) Per $0
2) Per $a=1$, è facile dimostrare che per ogni $n$ si ha $M_n(a)="sup"_(z>=0)g_n(z;a)=1$; la serie $\sum_(n=1)^(+oo) M_n(a)$ è chiaramente divergente e perciò nemmeno in questo caso la serie converge totalmente in $RR^2$.
3) Per $a>1$, ogni $g_n(z;a)$ è infinitesima all'infinito ed indefinitamente derivabile; facendo un po' di calcoli con le derivate si trova che $g_n(z;a)$ prende massimo in $z=(n^2/(a-1))^(1/a)$, che tale massimo è assoluto e che vale:
$M_n(a)=max_(z>=0) g_n(z;a)=((a-1)^(1-1/a))/a*1/n^(2-2/a) \quad$;
la serie $\sum_(n=1)^(+oo) M_n(a)=((a-1)^(1-1/a))/a*\sum_(n=1)^(+oo)1/n^(2-2/a)$ è multipla di una serie armonica generalizzata, quindi converge se e solo se risulta $2-2/a>1$: quest'ultima disuguaglianza è verificata se e solo se:
$2/a<1 \Leftrightarrow a>2$.
Ne viene che la tua serie di funzioni converge totalmente in $RR^2$ se $a>2$, mentre non converge totalmente per $1
Ricapitolando: la serie $\sum (xy)/(n^2+|xy|^a)$ è totalmente (quindi pure uniformemente) convergente sui compatti per ogni valore di $a>0$; in più se $a>2$ allora essa è convergente totalmente (quindi pure uniformemente) in tutto $RR^2$.
Ecco fatto.
Bastava fare due conticini.
P.S.: Ovviamente sarebbe cosa buona e giusta ricontrollare i calcoli, data l'ora...
Grazie mille molto gentile....
Per me non era molto semplice
Per me non era molto semplice
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