Convergenza uniforme
Salve a tutti voi! Vorrei sapere se è vero il seguente fatto:
$f_k$ successione equilimitata di funzioni continue in [a, b] convergente puntualmente a $f$ in [a,b] $\Rightarrow$ $f$ è integrabile (secondo Riemann) in [a, b] e vale: $lim_{k->\infty} \int_a^b f_k(x) dx = \int_a^b f(x)dx$ .
Se ciò è vero vorrei la dimostrazione, altrimenti gradirei un controesempio.
PS: $f_k$ successione di funzioni equilimitata in $A\subseteq\mathbb{R}$ $\Leftarrow\Rightarrow$ esiste $M>0$ tale che: $|f_k(x)| \leq M \qquad \forall x \in A$, $\forall k\in\mathbb{N}$ .
Grazie a chiunque vorrà rispondere.
Saluti,
$f_k$ successione equilimitata di funzioni continue in [a, b] convergente puntualmente a $f$ in [a,b] $\Rightarrow$ $f$ è integrabile (secondo Riemann) in [a, b] e vale: $lim_{k->\infty} \int_a^b f_k(x) dx = \int_a^b f(x)dx$ .
Se ciò è vero vorrei la dimostrazione, altrimenti gradirei un controesempio.
PS: $f_k$ successione di funzioni equilimitata in $A\subseteq\mathbb{R}$ $\Leftarrow\Rightarrow$ esiste $M>0$ tale che: $|f_k(x)| \leq M \qquad \forall x \in A$, $\forall k\in\mathbb{N}$ .
Grazie a chiunque vorrà rispondere.
Saluti,
Risposte
Prendi in esame la successione di funzioni:
$ f_k(x) = ( |cos(2 \pi k x)| )^k $
Su $[0,1]$ questa converge a una funzione non integrabile secondo Riemann. Infatti:
$ f_\infty(x) = {(1 \x \in QQ),(0 \x in RR):} $
$ f_k(x) = ( |cos(2 \pi k x)| )^k $
Su $[0,1]$ questa converge a una funzione non integrabile secondo Riemann. Infatti:
$ f_\infty(x) = {(1 \x \in QQ),(0 \x in RR):} $
Se $x = 1/4$ risulta che: $f_k(1/4) = |cos(k\pi/2)|^k$ che non tende a 1, perchè:
$f_{2k+1}(1/4) = 0 \qquad\forall k\in NN$ .
Comunque la tua è una buona idea: stavo pensando anche io a qualche cosa di simile, ma ancora non sono approdato ad un risultato sicuro.
Mi è venuta in mente la seguente successione di funzioni:
$f_k(x) = cos(2^k\pi x) $ .
Dovrebbe tendere a $-1/2$ per $x!=0$ , ma non sono sicuro di ciò.
Grazie per l'intervento!
$f_{2k+1}(1/4) = 0 \qquad\forall k\in NN$ .
Comunque la tua è una buona idea: stavo pensando anche io a qualche cosa di simile, ma ancora non sono approdato ad un risultato sicuro.
Mi è venuta in mente la seguente successione di funzioni:
$f_k(x) = cos(2^k\pi x) $ .
Dovrebbe tendere a $-1/2$ per $x!=0$ , ma non sono sicuro di ciò.
Grazie per l'intervento!
Temo di avere sbagliato: se $x=1/2^n$ per qualche $n \in NN$ risulta: $f_k(x) = 1 \qquad\forall k>n$.
Qualcuno ha qualche altra idea?
Qualcuno ha qualche altra idea?
"Woody":
Se $x = 1/4$ risulta che: $f_k(1/4) = |cos(k\pi/2)|^k$ che non tende a 1, perchè:
$f_{2k+1}(1/4) = 0 \qquad\forall k\in NN$ .
Comunque la tua è una buona idea: stavo pensando anche io a qualche cosa di simile, ma ancora non sono approdato ad un risultato sicuro.
Mi è venuta in mente la seguente successione di funzioni:
$f_k(x) = cos(2^k\pi x) $ .
Dovrebbe tendere a $-1/2$ per $x!=0$ , ma non sono sicuro di ciò.
Grazie per l'intervento!
Si hai ragione, mi sono sbagliato... eppure sono convinto che sia possibile trovare una funzione che tende puntualmente a qualche ``schifezza'' non integrabile... La cosa e' banale se ammettiamo che $a$ o/e $b$ siano infiniti, ma sui compatti e' difficile... Se mi viene in mente qualche cosa d'altro lo posto....
Prendo la successione di funzioni dell'altra volta (a meno di una piccola modifica):
$ f_k(x) = ( |cos( k pi x)| )^k $
E prendiamo l'insieme:
$ A_k := { x \in [0,1] : |cos ( k pi x )| = 1 } $
Allora e' chiaro che:
$ A_k := { n/k : n \in 0,1,...k } $
Ora posto:
$ B_k = [0,1] \\ A_k
Abbiamo:
$ f_k(x) |_{A_k} = 1 \qquad \forall k $
E:
$ f_k(x)|_{B_k} -> 0 $
Quindi $f_k -> f$ ed:
$f = {(0 \qquad x \in B),(1 \qquad x \in A):} $
Dove $B_k -> B$ e $A_k -> A$. Ora:
card($A_k$) = $k+1$
Quindi $A$ e' un insieme di cardinalita' infinita (anche se non contiene tutto $QQ$ come pensavo all'inizio). Da cui segue che $f$ non e' integrabile secondo Riemann. (se non ho fatto altri errori)
$ f_k(x) = ( |cos( k pi x)| )^k $
E prendiamo l'insieme:
$ A_k := { x \in [0,1] : |cos ( k pi x )| = 1 } $
Allora e' chiaro che:
$ A_k := { n/k : n \in 0,1,...k } $
Ora posto:
$ B_k = [0,1] \\ A_k
Abbiamo:
$ f_k(x) |_{A_k} = 1 \qquad \forall k $
E:
$ f_k(x)|_{B_k} -> 0 $
Quindi $f_k -> f$ ed:
$f = {(0 \qquad x \in B),(1 \qquad x \in A):} $
Dove $B_k -> B$ e $A_k -> A$. Ora:
card($A_k$) = $k+1$
Quindi $A$ e' un insieme di cardinalita' infinita (anche se non contiene tutto $QQ$ come pensavo all'inizio). Da cui segue che $f$ non e' integrabile secondo Riemann. (se non ho fatto altri errori)
La risposta che ho dato ieri richiede alcune puntualizzazioni. Soprattutto perche' non sono del tutto sicuro della correttezza di quello che ho scritto.
Allora che la funzione $f$ non sia integrabile secondo Riemann non ci sono dubbi. Il problema piuttosto e' la convergenza puntuale di $f_k$. Infatti la convergenza su:
$ \bigcap_i B_i $
E' evidente come quella su:
$ \bigcap_i A_i = {0,1} $
Poi io sostengo che la convergenza sia puntuale anche sull'insieme $A$. Il problema e' che $A$ e' un insieme un po' troppo schifoso per poter semplicemente calcolare $f_k$ su $A$ e controllare (se ci riuscite tanto di capello!
). Quindi io ho sostenuto questo:
Siccome $A_k -> A$ e $f_k$ e' continua quando $k$ va all'infinito i punti su cui $f_k$ vale $1$ sono infinitamente vicini a quelli dell'insieme $A$ (che credo, ma non provo nemmeno a dimostrare, essere denso in $[0,1]$) dalla continuita' segue che i punti di $f_K$ su $A$ sono infinitamente vicini a $1$. Quindi $f_{k}|_{A} -> f|_A $ puntualmente.
Su queste ultime affermazioni vorrei un parere perche' sicuramente non sono molto rigorose e non saprei come fare per rendere il tutto formalmente corretto... Magari si potrebbe provare a smanettarci sopra con la $\epsilon - \delta$ definizione di limite o, con un po' di analisi non-standard...
Allora che la funzione $f$ non sia integrabile secondo Riemann non ci sono dubbi. Il problema piuttosto e' la convergenza puntuale di $f_k$. Infatti la convergenza su:
$ \bigcap_i B_i $
E' evidente come quella su:
$ \bigcap_i A_i = {0,1} $
Poi io sostengo che la convergenza sia puntuale anche sull'insieme $A$. Il problema e' che $A$ e' un insieme un po' troppo schifoso per poter semplicemente calcolare $f_k$ su $A$ e controllare (se ci riuscite tanto di capello!
). Quindi io ho sostenuto questo:Siccome $A_k -> A$ e $f_k$ e' continua quando $k$ va all'infinito i punti su cui $f_k$ vale $1$ sono infinitamente vicini a quelli dell'insieme $A$ (che credo, ma non provo nemmeno a dimostrare, essere denso in $[0,1]$) dalla continuita' segue che i punti di $f_K$ su $A$ sono infinitamente vicini a $1$. Quindi $f_{k}|_{A} -> f|_A $ puntualmente.
Su queste ultime affermazioni vorrei un parere perche' sicuramente non sono molto rigorose e non saprei come fare per rendere il tutto formalmente corretto... Magari si potrebbe provare a smanettarci sopra con la $\epsilon - \delta$ definizione di limite o, con un po' di analisi non-standard...
"david_e":
$ f_k(x)|_{B_k} -> 0 $
Su questo non sarei tanto sicuro. Stai affermando che: se $x \in [0,1] \\ QQ$, allora $f_k(x) -> 0$ ?
Se mi ricordo bene (ma la dimostrazione non me la ricordo, al momento), l'insieme ${sin(n) | n \in NN}$ è denso in $[-1, 1]$; in particolare, per ogni punto $y \in [0,1]$ , esiste una sottosuccessione $n_k$ di $n$ tale che: $sin(n_k) -> y$ ; dunque, probabilmente esiste anche una sottosuccessione $n_k$ tale che: $sin(n_k) - 1 $ è asintotico a $1/k$ e quindi: $|sin(n_k)|^(n_k)$ (e quindi anche $|sin(n)|^n$) non converge a 0, perchè : $lim_{k -> \infty} (1+1/k)^k = e$ .
In effetti la $f_k(x)$ è un candidato naturale a controesempio, ma la difficoltà principale è trovare il limite puntuale di $f_k$.
No ovviamente $ f_k(x)|_{B_k} -> 0 $ non e' una scrittura del tutto corretta. Quello che volevo dire e' che al di fuori dell'insieme $A_k$ la funzione per ogni $k$ (se $k$ va all'infinito) e' infinitesima.
In realta' sarebbe piu' giusto scrivere $f_k(x)|_G -> 0$ dove:
$ G = \bigcap_{i=1}^oo B_k $
In oltre $A$ non e' $QQ \cap [0,1]$ ma e' il sottoinsieme di $QQ$ definito cosi:
$ A_k := { n/k : n \in 0,1,...k } $ e $A_k -> A$
E quindi ho sostenuto che $f_k$ converge puntualmente a $1$ su $A$... Il fatto e' che questo insieme $A$ e' brutto e quindi non si riesce a dire esattamente come sia fatto. A dire il vero non so nemmeno se sia un insieme... (nel senso che quello che ho scritto sopra definisce un insieme che rispetti gli assiomi di ZFC)
In realta' sarebbe piu' giusto scrivere $f_k(x)|_G -> 0$ dove:
$ G = \bigcap_{i=1}^oo B_k $
In oltre $A$ non e' $QQ \cap [0,1]$ ma e' il sottoinsieme di $QQ$ definito cosi:
$ A_k := { n/k : n \in 0,1,...k } $ e $A_k -> A$
E quindi ho sostenuto che $f_k$ converge puntualmente a $1$ su $A$... Il fatto e' che questo insieme $A$ e' brutto e quindi non si riesce a dire esattamente come sia fatto. A dire il vero non so nemmeno se sia un insieme... (nel senso che quello che ho scritto sopra definisce un insieme che rispetti gli assiomi di ZFC)
"david_e":
In realta' sarebbe piu' giusto scrivere $f_k(x)|_G -> 0$ dove:
$ G = \nn_{i=1}^\infty B_k $
In oltre $A$ non e' $QQ \cap [0,1]$ ma e' il sottoinsieme di $QQ$ definito cosi:
$ A_k := { n/k : n \in 0,1,...k } $ e $A_k -> A$
E quindi ho sostenuto che $f_k$ converge puntualmente a $1$ su $A$... Il fatto e' che questo insieme $A$ e' brutto e quindi non si riesce a dire esattamente come sia fatto. A dire il vero non so nemmeno se sia un insieme... (nel senso che quello che ho scritto sopra definisce un insieme che rispetti gli assiomi di ZFC)
Scusa, ma non capisco. Non vedo perchè non dovrebbe essere: $A = QQ \nn [0,1]$ ; a dire la verità, non capisco cosa tu intenda scrivendo: $A_k -> A$ : rispetto a quale topologia?
E comunque, rimane ancora plausibile che la successione $f_k(x)$ non converga per $x \in QQ \\ [0,1]$.
Guarda il fatto e' che io essendo solo uno studente di ingegneria non sono in grado di formalizzare meglio di cosi' la mia idea.... Non avendo mai studiato Topologia (se non 2 stupidate-base) non ti so specificare meglio in che senso $A_k -> A$. Quello che ho pensato io e' che esiste un insieme $A$ sottoinsieme di $[0,1]$ che goda della proprieta':
$ d (A,A_k) -> 0 $
Dove $d(.,.)$ e' la distanza fra due insiemi. E da li per la convergenza di $f_k$ ho progeduto per via puramente "intuitiva" senza stare a formalizzare nulla (anche perche' non so nemmeno se ne valga la pena)....
Comunque se $A=QQ \cap [0,1]$ l'esempio non va bene perche' hai gia dimostrato che $f_k$ non converge puntualmente a $f$ su quell'insieme....
$ d (A,A_k) -> 0 $
Dove $d(.,.)$ e' la distanza fra due insiemi. E da li per la convergenza di $f_k$ ho progeduto per via puramente "intuitiva" senza stare a formalizzare nulla (anche perche' non so nemmeno se ne valga la pena)....
Comunque se $A=QQ \cap [0,1]$ l'esempio non va bene perche' hai gia dimostrato che $f_k$ non converge puntualmente a $f$ su quell'insieme....
"david_e":
Guarda il fatto e' che io essendo solo uno studente di ingegneria non sono in grado di formalizzare meglio di cosi' la mia idea.... Non avendo mai studiato Topologia (se non 2 stupidate-base) non ti so specificare meglio in che senso $A_k -> A$.
Scusami, non lo sapevo... ma non capivo bene cosa intendessi...
"david_e":
Quello che ho pensato io e' che esiste un insieme $A$ sottoinsieme di $[0,1]$ che goda della proprieta':
$ d (A,A_k) -> 0 $
Dove $d(.,.)$ e' la distanza fra due insiemi. E da li per la convergenza di $f_k$ ho progeduto per via puramente "intuitiva" senza stare a formalizzare nulla (anche perche' non so nemmeno se ne valga la pena)....
Ma anche se esiste, quell'insieme dovrebbe essere $QQ$; segue dalla definizione di $A_k$ ...
"david_e":
Comunque se $A=QQ \cap [0,1]$ l'esempio non va bene perche' hai gia dimostrato che $f_k$ non converge puntualmente a $f$ su quell'insieme....
Non sono sicuro di averlo dimostrato...
mi potete dire quale è la definizione di convergenza uniforme?credo di saperla ma non so se è completa
Sia $f_k : A \sube RR -> R$ una successione di funzioni. Si dice che $f_k$ converge uniformemente a $f$ in $A$ se:
$lim_{k->\infty} Sup_{x \in A} |f_k(x) - f(x)| = 0$ , ovvero se:
$\forall \epsilon >0 , EE \nu \in NN : |f_k(x) - f(x)| < \epsilon \qquad \forall x \in A \quad\forall k>\nu$ .
Si dice poi che una serie di funzioni è uniformemente convergente se risulta uniformemente convergente la successione delle somme parziali.
$lim_{k->\infty} Sup_{x \in A} |f_k(x) - f(x)| = 0$ , ovvero se:
$\forall \epsilon >0 , EE \nu \in NN : |f_k(x) - f(x)| < \epsilon \qquad \forall x \in A \quad\forall k>\nu$ .
Si dice poi che una serie di funzioni è uniformemente convergente se risulta uniformemente convergente la successione delle somme parziali.
perchè nel limite hai messo "sup x"
Intendo l'estremo superiore di $|f_k(x) - f(x)|$ al variare di $x \in A$ . Le due definizioni sono equivalenti:
$lim_{k->\infty} Sup_{x \in A} |f_k(x) - f(x)| = 0$ ;
$\forall \epsilon >0 , EE \nu \in NN : |f_k(x) - f(x)| < \epsilon \qquad \forall x \in A \quad\forall k>\nu$ .
$lim_{k->\infty} Sup_{x \in A} |f_k(x) - f(x)| = 0$ ;
$\forall \epsilon >0 , EE \nu \in NN : |f_k(x) - f(x)| < \epsilon \qquad \forall x \in A \quad\forall k>\nu$ .
"Woody":
Intendo l'estremo superiore di $|f_k(x) - f(x)|$ al variare di $x \in A$ . Le due definizioni sono equivalenti:
$lim_{k->\infty} Sup_{x \in A} |f_k(x) - f(x)| = 0$ ;
$\forall \epsilon >0 , EE \nu \in NN : |f_k(x) - f(x)| < \epsilon \qquad \forall x \in A \quad\forall k>\nu$ .
l'avevo capito che erano equivalenti
ciao e grazie
"Woody":
[quote="david_e"]Guarda il fatto e' che io essendo solo uno studente di ingegneria non sono in grado di formalizzare meglio di cosi' la mia idea.... Non avendo mai studiato Topologia (se non 2 stupidate-base) non ti so specificare meglio in che senso $A_k -> A$.
Scusami, non lo sapevo... ma non capivo bene cosa intendessi...[/quote]
No sono io che semmai mi dovrei scusare per la mia ignoranza in materia... ho lasciato per questo stare la formulazione precisa (che eventualmente si puo' aggiungere a quella intuitiva se si ritengono credibili i risultati)...
"Woody":
[quote="david_e"] Comunque se $A=QQ \cap [0,1]$ l'esempio non va bene perche' hai gia dimostrato che $f_k$ non converge puntualmente a $f$ su quell'insieme....
Non sono sicuro di averlo dimostrato...[/quote]
Si hai mostrato che $f_k(1/4)$ non converge a $1$. Quindi non puo' esserci convergenza puntuale in tutto $QQ \cap [0,1]$. Al massimo puo' esserci in un sottoinsieme di questo (che ad esempio non deve convenere $1/4$)... Se $A = QQ \cap [0,1]$ allora il mio ragionamento e' sbagliato...
Bisognerebbe riuscire a scoprire in qualche modo a cosa tende puntualmente $f_k$.... Una tecnica che si potrebbe usare (aspetto comunque il tuo parere su questo anche perche' non ho molto tempo per fare questi conti) sarebbe questa: troviamo un modo per esprimere $f_{k+1}(x)$ in funzione di $f_k(x)$ e poi usiamo la teoria sui sistemi dinamici discreti (teorema delle contrazioni etc...) per trovare gli equilibri (che ci aspettiamo essere $0$,$1$) e i relativi bacini di attrazione... Probabilmente il sistema risultera' caotico quindi i bacini dovrebbero essere insiemi ultra-schifosi (tipo frattali) e quindi non misurabili secondo Peano-Jordan da cui si avrebbe la non integrabilita' della funzione limite $f$.
A questo punto sono io che mi devo scusare per la mia ignoranza in materia, perchè ancora non ho studiato la teoria dei sistemi dinamici discreti e la misura secondo Peano-Jordan; penso che la studierò il prossimo semestre. Magari un giorno tornerò sopra a questo problema... Ti ringrazio molto per il tuo aiuto, david_e! Ciao!
Ok appena trovo il tempo provero' ad applicare la mia idea... anche se temo che non si riesca ad esibire cosi' una prova definitiva: al massimo potrebbe dare una forte indicazione sul fatto che l'insieme dei punti su cui $f_k$ tende a $1$ non e' misurabile e quindi e' del tipo "$QQ \cap [0,1]$"... da li a riuscire a dimostrarlo....
Comunque se ci sono sviluppi ti faccio sapere....
Ciao!
Comunque se ci sono sviluppi ti faccio sapere....
Ciao!
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