Convergenza uniforme

[rocco.g1]

Ciao!

Mi ero messo a fare un esercizio sullo studio della convergenza uniforme e puntuale di questa successione di funzioni:



Non ho capito come risolvere l'ultimo punto dell'esercizio che chiedeva di determinare tutti e soli i numeri reali a,b con a
Nel punto precedente avevo trovato il suo punto di max annullando la derivata prima, avevo trovato che si annullava in
x = sqrt( 1 / ( 2n^2) ) e che per tale valore di x la f_n valeva [ sqrt(2) / 2e ] che è sempre maggiore di zero.

Lo svolgimento del punto dice che:

la successione converge uniformemente in [a,b] se a e b hanno lo stesso segno, in tutti gli altri casi non può convergere (perchè?)...
Ad esempio se 0 < a < b, definitivamente si ha sqrt( 1 / ( 2n^2) ) < a e quindi:

M_n = max { f_n(x) : x appartiene a [a,b]} = f_n(a) -> 0

ma perchè succede questo ? non ho capito proprio il passaggio... e poi a e b sembrano presi così tanto per essere presi... e poi perchè f_n(a) tende a zero ?! non so nemmeno quanto vale a, come faccio a dire che tende a zero ???

Mi aiutate a capire, please ?

[david_e1]

Siccome il punto di massimo tende a zero accade che scelto un qualunque intervallo [a b] con 0 < a < b questo punto "esce" dall'intervallo per un n sufficientemente grande.

In oltre il punto a diventa il punto di max della funzione in [a b] (perche' essa e' decrescente) (da un certo n in poi quando il massimo assoluto finisce su un punto fuori da [a b]). Calcolando fn(a) per ogni a diverso da zero ci si accorge che essa tende a zero quando n va' all'infinito.

[rocco.g1]

ma M_n non è una costante che non dipende da n ?

cioè il valore di x che annulla la derivata è x = sqrt( 1 / ( 2n^2) ) ma M_n vale f[sqrt( 1 / ( 2n^2) )] = sqrt(2) / 2e che è sempre maggiore di zero, essendo un numero positivo diverso da zero.

Non capisco bene

[david_e1]

Si il massimo della funzione in R+ e' M_n, ma il punto di massimo tende a zero, per cui guardando la funzione su un intervallo chiuso di R+ che non contiene lo zero, da un certo n (quale n dipende dall'intervallo) in poi il punto massimo finisce oltre il primo estremo. A quel punto M_n ristretto ad [a b] non e' piu' quello di prima, ma e' il max su [a b] della tua funzione: ovvero fn(a) (da un certo n in poi).

In altre parole M_n | [a b] = sqrt(2) / 2e fino a un certo n
............................= f_n (a) da un certo n in poi.

Si vede molto bene graficamente: la funzione ha una specie di collinetta in cima alla quale prende il max, quando si fa scorrere n questa si schiaccia verso sinistra e la sommita' tende a posizionarsi su x=0 quindi esce da ogni intervallo chiuso che non contenga lo zero a pratire da un n sufficientemente grande lasciando "in vista" solo la coda che decresce dolcemente a mo' di Gaussiana....