Convergenza uniforme

[m_2000]

Sia data una successione di funzioni $ (f_n)_(ninNN)$ t.c $ f_n(x)=sqrt(x-2)/(2nx)$ $AA x in[2,+infty[$
Devo calcolare la convergenza puntuale ed uniforme. Premetto di essere alle primissime armi con l'argomento e che quindi posso avere commesso errori clamorosi.
CONVERGENZA PUNTUALE:
Fisso un certo $x_0 in [2,+infty[$ e calcolo il limite $\lim_(n->infty)f_n(x_0)=0$ quindi la funzione limite risulta essere $f(x)=0$, ovvero tutte le successioni numeriche di termine generale $f_n(x_0)$ tendono a $0$
CONVERGENZA UNIFORME:
Per la convergenza uniforme ho che $lim_(n->infty)f_n=f$ uniformemente in $[2,+infty[ hArr
AA epsilon>0 EEnu_epsilon t.c AA x in [2,+infty[ : |f_n(x) - f(x)|<=epsilon$
che equivale a dire che: $text(sup)|f_n(x) -f(x)|<=epsilon$
E quindi per definizione di limite: $lim_(n->infty)(text(sup)|f_n(x) -f(x)|)=0$
Ora per trovare l'estremo superiore della quantità indicata ho derivato $f_n(x) -f(x)$ ponendo poi $D(f_n(x) -f(x))>=0$, aspettandomi di trovare una soluzione dipendente da n per poi fare il limite...
Nei miei calcoli però $n$ finisce per semplificarsi... qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato ed eventualmente cosa avrei dovuto fare?

[Mephlip]

Ciao! Quello che dici è tutto giusto (a parte che ti sei perso un "per ogni $n>\nu_{\varepsilon}$" nella definizione di convergenza uniforme), che intendi col fatto che $n$ finisce per semplificarsi? Che la derivata non dipende da $n$? A me non risulta.
Hai che
$$f_n'(x)= \frac{1}{2n} \frac{x\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\sqrt{x-2}}{x^2}=\frac{4-x}{4nx^2\sqrt{x-2}}$$
Come vedi la dipendenza da $n$ c'è in $f_n'$.

[m_2000]

Ciao Mephlip grazie per la risposta!
Ho rivisto i calcoli della derivata poco fa e mi sono accorto di una svista. Partendo dal risultato che hai scritto, ho posto $f'_n(x)>=0$ per trovare gli estremi superiori al variare di n, quindi risolvendo trovo come soluzione
$2 questa "differenza" dovrebbe però essere portata a 0 dal limite...
Poichè forse mi sono espresso male preferisco portare un esempio molto semplice per sottolineare il mio dubbio...

Considero $(f_n)_(ninNN)=xe^(-nx)$, la sua funzione puntuale è $f(x)=0$
per la convergenza uniforme quindi devo avere che è soddisfatto il limite $lim_(n->infty)text(sup)(xe^(-nx))=0$
Derivando ho che $f'_n(x)=e^(-nx)-nxe^(-nx)>=0$ la cui soluzione è $x<=1/n$ quindi la massima differenza tra la funzione puntuale e $f_n(x)$ risulta essere 0 all'infinito, poichè $lim_(n->infty)1/n=0$ e quindi è soddisfatta la definizione di convergenza uniforme...

Nell'esempio preso prima in esame non trovo una situazione simile...

[gugo82]

"m_2000":Ciao Mephlip grazie per la risposta!
Ho rivisto i calcoli della derivata poco fa e mi sono accorto di una svista. Partendo dal risultato che hai scritto, ho posto $f'_n(x)>=0$ per trovare gli estremi superiori al variare di n, quindi risolvendo trovo come soluzione
$2la massima differenza tra la funzione puntuale $f(x)$ e $f_n(x)$ risulta essere 4...

No, questo è sbagliato.

Innanzitutto, osserva che la distanza dal limite, i.e. la funzione $|f_n(x) - f(x)|$, coincide con $f_n(x)$ (perché $f(x) = 0$ ovunque e perché $f_n(x) >= 0$ ovunque nel tuo insieme di definizione) dunque:

$"sup" |f_n(x) - f(x)| = "sup" f_n(x)$;

i calcoli che hai fatto mostrano che $f_n$ è dotata di massimo assoluto preso nel punto $4$, quindi la massima differenza puntuale tra il limite e lo $n$-esimo termine della successione è:

$"sup" |f_n(x) - f(x)| = "sup" f_n(x) = max f_n(x) = f_n(4) = (sqrt(2))/(8n)$;

da qui concludi che la convergenza è uniforme su tutto l'intervallo considerato (perché passando al limite trovi...).

[m_2000]

Perfetto! Grazie ad entrambi, oltre ad aver risolto l'esercizio avete colmato i dubbi che avevo sulla parte teorica .