Convergenza uniforme

[Valchiria1]

Salve, ho svolto questo esercizio ma ho dei dubbi sulla convergenza uniforme
$f_n(x)=arctan(x^(2n))$

il limite puntuale, valutando opportunamente $x^n$ è:

$ f(x)={ ( 0 if -11 ),( pi/4 if x=+-1 ):} $

Devo valutare la convergenza uniforme in $[5,+infty)$, Studio allora

$Sup{|f_n(x)-f(x)|t.c. x in[5,infty)}$ dove $f(x)=pi/2$

$g_n=f_n(x)-f(x)=arctan(x^(2n))-pi/2$
$g'_n=(2 n x^(-1 + 2 n))/(1 + x^(4 n))>0$ se $x>0$, ho un punto di minimo in 0 perciò nell'intervallo considerato da 5 in poi la funzione è crescente quindi deduco
$|f_n(x)-f(x)|=|arctan(x^(2n))-pi/2|<=|arctan(+infty)-pi/2|=0$
perciò la convergenza è uniforme, è giusto il procedimento che ho fatto studiando $g'_n$?

[Mathita]

Ciao, l'ultima disuguaglianza è certamente errata perché implicherebbe la nullità di $f_n(x)-f(x)$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e per ogni $x>0$ dell'insieme di convergenza puntuale. Il motivo che ti ha indotto all'errore risiede nel non aver tenuto conto del valore assoluto. Nota infatti che il modulo è una funzione crescente quando l'argomento è non negativo, decrescente altrimenti. Prova di nuovo, sei ad un passo dalla soluzione!

[gugo82]

Ma anche senza derivare... (Dato che ci sei)

Osserva che $|f_n(x) - f(x)| = pi/2 - arctan(x^(2n))$; per $x>=0$ la monotonia delle funzioni elementari implica che $|f_n(x) - f(x)|$ è strettamente decrescente in $[5,+oo[$ sicché:
\[
\sup_{x\geq 5} |f_n(x) - f(x)| = \frac{\pi}{2} - \arctan 5^{2n} \to 0\; ,
\]
dunque la convergenza è uniforme.

[Valchiria1]

Capito, grazie mille