Convergenza uniforme

Alfiere90
Buonasera ho qui un dubbio
Ho una successione di funzioni $f_n(x) = (1-lnx)/(cos^2x+n^2)$ che risulta essere convergente puntualmente a $f(x)=0$.
Ora devo calcolare la convergenza uniforme nell'intervallo $[1,e^(2)]$.
Tramite maggiorazioni potrei fare così:
$ (1-lnx)/(cos^2x +n^2) \sim (1-lnx)/(n^2) \sim 1/n^2$ (*Non mi va il comando /sim per l'equivalenza asintotica)
Dunque impostando il $lim_{n\to\infty} s.up = lim_{n\to\infty} 1/n^2 = 0$ e quindi concludo l'esercizio. Ho però dei dubbi:
1) Posso maggiorare $(1-lnx)/n^2$ con $1/n^2 ?$ (Credo di sì, in quanto $lnx$ può assumere solo valori tra $1$ e $2$)
2)Quell'intervallo non mi convince (E' fatto apposta per consentirmi la maggiorazione, oppure è preso a caso secondo voi?)

Risposte
anto_zoolander
Ma $cos^2$ di cosa?

Alfiere90
"anto_zoolander":
Ma $cos^2$ di cosa?


Aggiusto subito, è $cos^2x$

anto_zoolander

Alfiere90
Sinceramente non ho capito il motivo per cui hai svolto in questo modo l'esercizio. A me bastava sapere che la funzione convergesse nell'intervallo $[1,e^2]$, non in qualsiasi intervallo, quindi per farla breve potevi controllare solo i calcoli che avevo svolto (hai fatto un lavoro in più :-D ).
In ogni caso non ho capito questo tuo passaggio
"anto_zoolander":
Quindi il massimo sarà dato tra $max{f(a),f(b)}$ e possiamo concludere

anto_zoolander
Il problema è che ho sbagliato perché c’è $n^2$ e non $n$.
Comunque

Sicuramente $(1-lnx)/(cos^2x+n^2) ~ (1-lnx)/n^2$ ma la terza non è vera.

Di fatto $lim_(n->+infty) (1-lnx)/n^2*n^2=1-lnx=1 <=> x=1$

Per studiare la convergenza uniforme si prende $a_n=||f_n-0||$ ovvero

$a_n=s u p{|(1-lnx)/(cos^2x+n^2)|:x in[1,e^2]}$

L’asintoticità non ti permette di concludere nulla. Puoi provare con le disuguaglianze

$|1-lnx|/(cos^2x+n^2)leq|1-lnx|/n^2$ Questa è vera $forall x in [1,e^2],forall n inNN_0$

Quindi il nemico da maggiorare è la quantità $g_n(x)=|1-lnx|/n^2$ e puoi maggiorarla facilmente usando le derivate.

$dg(x)=-1/(n^2x) sgn(1-lnx)$

[size=105]$sign(1-lnx)={(1 if x in[1,e)),(-1 if x in (e,e^2]):}=>{(dg>0 if x in(e,e^2]),(dg<0 if x in[1,e)):}$[/size]

essendo $g_n(x)$ decrescente in $[1,e)$
$• max{g_n(x):x in[1,e)}=lim_(x->1^+)g_n(x)=1/n^2$

essendo $g_n(x)$ crescente in $(e,e^2]$
$• max{g_n(x): x in(e,e^2]}=lim_(x->e^2)g_n(x)=1/n^2$

Quindi $g_n(x)leq1/n^2,forall n inNN_0$ e $forall x in[1,e^2]$
Di fatto $g_n$ ha come massimo sempre $1/n^2$ in entrambi gli intervalli e chiaramente anche nella loro unione.
Penso sia questo il motivo per cui si usa questo intervallo.

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