Convergenza uniforme

[Alfiere90]

Buonasera ho qui un dubbio
Ho una successione di funzioni $f_n(x) = (1-lnx)/(cos^2x+n^2)$ che risulta essere convergente puntualmente a $f(x)=0$.
Ora devo calcolare la convergenza uniforme nell'intervallo $[1,e^(2)]$.
Tramite maggiorazioni potrei fare così:
$ (1-lnx)/(cos^2x +n^2) \sim (1-lnx)/(n^2) \sim 1/n^2$ (*Non mi va il comando /sim per l'equivalenza asintotica)
Dunque impostando il $lim_{n\to\infty} s.up = lim_{n\to\infty} 1/n^2 = 0$ e quindi concludo l'esercizio. Ho però dei dubbi:
1) Posso maggiorare $(1-lnx)/n^2$ con $1/n^2 ?$ (Credo di sì, in quanto $lnx$ può assumere solo valori tra $1$ e $2$)
2)Quell'intervallo non mi convince (E' fatto apposta per consentirmi la maggiorazione, oppure è preso a caso secondo voi?)

[anto_zoolander]

Ma $cos^2$ di cosa?

[Alfiere90]

"anto_zoolander":Ma $cos^2$ di cosa?

Aggiusto subito, è $cos^2x$

[anto_zoolander]

Considera che $nleqcos^2x+nleqn+1,foralln inNNforallx inRR$

Dunque $1/(cos^2x+n)leq1/n,foralln inNN_0forallx inRRsetminus{0}$

Da cui $|(1-logx)/(cos^2x+n)|leq|(1-logx)/n|,forall n inNN_0 forallx in(0,+infty)$

Considerando $f(x)=|1-logx|$ con $x in[a,b]$ e $0 $df(x)=sgn(1-logx)(-1/x)$

$-1/x$ in qualsiasi sottoinsieme di $RR^+$ è negativo quindi il segno della derivata dipende dall’altro fattore.
Chiaramente $1-logx>0$ se $0
Pertanto ${(df(x)<0 if x in(0,e)),(df(x)>0 if x in(e,+infty)):}$
Quindi il massimo sarà dato tra $max{f(a),f(b)}$ e possiamo concludere

$|(1-logx)/(cos^2x+n)|leq (max{ f(a),f(b) })/n, forall n inNN_0 forall x in [a,b]$

Quindi si è trovato di più, ovvero che $f->0$ uniformemente in qualsiasi intervallo $[a,b]$ con $0
1) per la tua prima domanda se $(1-lnx)/n^2leq1/n^2$ allora $lnxgeq0$ ovvero per $xgeq1$ e viceversa, quindi la maggiorazione è valida

2) se i conti che ho fatto sono corretti, non può essere altro che preso a caso. È un intervallo simmetrico rispetto al punto in cui si annulla $1-lnx$ infatti $1-ln1=1$ e $1-lne^2=1-2lne=-1$

3) nota che $a_n=(max{f(a),f(b)})/ngeq ||f_n -0||_(infty)$ quindi se $a_n->0$ si ha la convergenza uniforme.

[Alfiere90]

Sinceramente non ho capito il motivo per cui hai svolto in questo modo l'esercizio. A me bastava sapere che la funzione convergesse nell'intervallo $[1,e^2]$, non in qualsiasi intervallo, quindi per farla breve potevi controllare solo i calcoli che avevo svolto (hai fatto un lavoro in più ).
In ogni caso non ho capito questo tuo passaggio

"anto_zoolander":Quindi il massimo sarà dato tra $max{f(a),f(b)}$ e possiamo concludere

[anto_zoolander]

Il problema è che ho sbagliato perché c’è $n^2$ e non $n$.
Comunque

Sicuramente $(1-lnx)/(cos^2x+n^2) ~ (1-lnx)/n^2$ ma la terza non è vera.

Di fatto $lim_(n->+infty) (1-lnx)/n^2*n^2=1-lnx=1 <=> x=1$

Per studiare la convergenza uniforme si prende $a_n=||f_n-0||$ ovvero

$a_n=s u p{|(1-lnx)/(cos^2x+n^2)|:x in[1,e^2]}$

L’asintoticità non ti permette di concludere nulla. Puoi provare con le disuguaglianze

$|1-lnx|/(cos^2x+n^2)leq|1-lnx|/n^2$ Questa è vera $forall x in [1,e^2],forall n inNN_0$

Quindi il nemico da maggiorare è la quantità $g_n(x)=|1-lnx|/n^2$ e puoi maggiorarla facilmente usando le derivate.

$dg(x)=-1/(n^2x) sgn(1-lnx)$

[size=105]$sign(1-lnx)={(1 if x in[1,e)),(-1 if x in (e,e^2]):}=>{(dg>0 if x in(e,e^2]),(dg<0 if x in[1,e)):}$[/size]

essendo $g_n(x)$ decrescente in $[1,e)$
$• max{g_n(x):x in[1,e)}=lim_(x->1^+)g_n(x)=1/n^2$

essendo $g_n(x)$ crescente in $(e,e^2]$
$• max{g_n(x): x in(e,e^2]}=lim_(x->e^2)g_n(x)=1/n^2$

Quindi $g_n(x)leq1/n^2,forall n inNN_0$ e $forall x in[1,e^2]$
Di fatto $g_n$ ha come massimo sempre $1/n^2$ in entrambi gli intervalli e chiaramente anche nella loro unione.
Penso sia questo il motivo per cui si usa questo intervallo.