Convergenza uniforme

[giigggio]

Devo studiare la 1)convergenza puntuale e 2)convergenza uniforme della successione di funzioni:

$f_n(x)=((n+1)x+n^2x^3)/(1+n^2x^2)$

1) Per la convergenza puntuale non ho problemi ed ottengo come risultato:
$\lim_{n \to \infty}((n+1)x+n^2x^3)/(1+n^2x^2)=x$

quindi converge puntualmente su tutto $RR$

2)Per la convergenza uniforme faccio $f_n(x)-f(x)$ ottengo $g_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)$

Studio la derivata che risulta $(n-n^3x^2)/(1+n^2x^2)^2$ e ponendola maggiore di 0 ottengo la disuguaglianza $-1/n < x < 1/n$

Quindi abbiamo un massimo per $x=1/n$ e sostituendolo a $g_n(x)$ ottengo come risultato in modulo $1/2$ quindi risulta che la serie non converge uniformemente su tutto $RR$, da qui non so come proseguire, avete idee?

[giigggio]

Un'altra cosa che mi lascia perplesso è:

$g_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)<(nx)/(n^2x^2)=1/(nx)$

Se derivo questa ottengo che la funzione decresce sempre e quindi il massimo è a $-oo$ sostituendo come prima si ottiene che la successione di funzioni converge uniformemente su tutto $RR$.

[ciampax]

Se $a_n=\max |f_n(x)-f|$ la successione converge uniformemente quando $\lim_{n\to+\infty} a_n=0$. Ma nel tuo caso ciò non è vero.

[giigggio]

Mi stai dicendo che è corretta la prima soluzione?

Perché in entrambi i casi ho preso il massimo trovandolo con la derivata...

[dissonance]

Un attimo, una cosa importante:

"dodddo":
2)Per la convergenza uniforme faccio $f_n(x)-f(x)$ ottengo $g_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)$

E il valore assoluto dove lo metti? Devi studiare $|g_n(x)|$, NON $g_n(x)$.

[giigggio]

Si, ho saltato il passaggio dove dico che la successione di funzioni è dispari, quindi studio prima il caso x>0 e poi x<0, ma il risultato non cambia..

[giigggio]

Formalmente mi spiego meglio:

Dopo aver ottenuto $g_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)$

La studio per $x>=0$

Ottengo derivando $g_n'(x)=(n-n^3x^2)/(1+n^2x^2)^2$
Ponendo $g_n'(x)>=0$ arrivo alla conclusione che $0 $\lim_{n \to \infty} |f_n(1/n)-f(1/n)|=1/2$

Passo a studiarlo per $x<=0$

Ottengo derivando $g_n'(x)=(n^3x^2-n)/(1+n^2x^2)^2$
Ponendo $g_n'(x)>=0$ arrivo alla conclusione che $x<-1/n$, il massimo è quindi in $-1/n$, perciò:
$\lim_{n \to \infty} |f_n(-1/n)-f(-1/n)|=1/2$

In conclusione la serie non diverge assolutamente in $RR$
Qualcuno mi dice dove sbaglio? Se sbaglio?

[ciampax]

Non CONVERGE assolutamente.

[giigggio]

Certo, ho sbagliato a scrivere