Convergenza uniforme
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni $f_n(x) = (1-e^(x/2))/(sen^2x +n^2)$ con $x \in )-infty,0]$
Per quella puntuale non c'è problema, si vede subito che il $lim n-> +infty$ fa 0 per un confronto tra infinitesimi.
Per quanto riguarda quella uniforme avevo pensato di studiare la funzione facendo la derivata prima etc.. ma viene troppo lungo e secondo me ad un vicolo cieco.
Avete consigli?
Per quella puntuale non c'è problema, si vede subito che il $lim n-> +infty$ fa 0 per un confronto tra infinitesimi.
Per quanto riguarda quella uniforme avevo pensato di studiare la funzione facendo la derivata prima etc.. ma viene troppo lungo e secondo me ad un vicolo cieco.
Avete consigli?
Risposte
$[x lt= 0] rarr [|(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2)| lt 1/n^2]$
"anonymous_0b37e9":
$[x lt= 0] rarr [|(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2)| lt 1/n^2]$
Cosa c'entra questa maggiorazione?
"Salivo44":
Cosa c'entra questa maggiorazione?
In che senso? Se ti stai riferendo al modulo, hai senz'altro ragione, è del tutto irrilevante:
$[x lt= 0] rarr [(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2) lt 1/n^2]$
"anonymous_0b37e9":
[quote="Salivo44"]
Cosa c'entra questa maggiorazione?
In che senso? Se ti stai riferendo al modulo, hai senz'altro ragione, è del tutto irrilevante:
$[x lt= 0] rarr [(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2) lt 1/n^2]$[/quote]
In effetti nemmeno io ho capito, devo studiare la convergenza uniforme, quella maggiorazione l'ho usata per la puntuale
Veramente, il calcolo del limite sottostante:
$[lim_(n->+oo)(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2)=0]$
non richiede nessuna maggiorazione. Insomma, sarebbe come se nel calcolare il seguente limite:
$[lim_(n->+oo)a/(b+n^2)=0]$
si scomodasse una maggiorazione. Ad ogni modo, la maggiorazione di cui sopra:
$[x lt= 0] rarr [(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2) lt 1/n^2]$
vale per ogni x. In particolare, anche per la x dove viene assunto il massimo (la x e la y di quest'ultimo, tipicamente, dipendono da n). Quando si passa al limite, il limite è senz'altro nullo.
Se procedere in quel modo risulta eccessivamente complicato, non rimane che maggiorare.
P.S.
A rigore, non si dovrebbe parlare di massimo, piuttosto, di estremo superiore.
$[lim_(n->+oo)(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2)=0]$
non richiede nessuna maggiorazione. Insomma, sarebbe come se nel calcolare il seguente limite:
$[lim_(n->+oo)a/(b+n^2)=0]$
si scomodasse una maggiorazione. Ad ogni modo, la maggiorazione di cui sopra:
$[x lt= 0] rarr [(1-e^(x/2))/(sen^2x+n^2) lt 1/n^2]$
vale per ogni x. In particolare, anche per la x dove viene assunto il massimo (la x e la y di quest'ultimo, tipicamente, dipendono da n). Quando si passa al limite, il limite è senz'altro nullo.
"Domeniko98":
Per quanto riguarda quella uniforme avevo pensato di studiare la funzione facendo la derivata prima ...
Se procedere in quel modo risulta eccessivamente complicato, non rimane che maggiorare.
P.S.
A rigore, non si dovrebbe parlare di massimo, piuttosto, di estremo superiore.