Convergenza uniforme

[Blizz1]

Buongiorno,

vi chiedo un aiuto per determinare la soluzione di un esercizio che recita così:

Sia $\alpha \in \mathbb{R}^{+} f_n:[0,+\infty] \rightarrow \mathbb{R}, f_n(x)=(nx)^{\alpha}e^{-nx}$. Per quali valori di $\alpha$ tale funzione converge uniformemente?"
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Vado a vedere la convergenza puntuale:

$lim_{n\rightarrow +\infty} (nx)^{\alpha}e^{-nx}=0$ perché $e^{-nx}$ va a zero più velocemente di $(nx)^{\alpha}$ che tende ad andare a $+\infty$. Quindi abbiamo convergenza puntuale.
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Valuto ora la convergenza uniforme:

$lim_{x\rightarrow 0} (nx)^{\alpha}e^{-nx}=0$


$lim_{x\rightarrow +\infty} (nx)^{\alpha}e^{-nx}=$

$0$ se $0
$0$ se $x>1$ perché ancora una volta $e^{-nx}$ va a zero più velocemente di $(nx)^{\alpha}$. Quindi a me fin qui viene da dire che converge uniformemente sempre.

[luc.mm]

La convergenza uniforme la valuti con la definizione no?

$lim_(n->+infty) s u p abs(f_n(t)-f(t))=0 $

Se è continua, limitata e infinitesima sei fortunato e ti calcoli il massimo funzione di $ n $, se tende a zero hai risolto.

[Blizz1]

Ho calcolato il massimo che si trova in $x= \frac{1}{n}$. Quindi $f_n(\frac{1}{n})= \frac{1}{e}$. Quindi non esiste un $\alpha$ che fa si che $f_n(x)$ converga uniformemente.