Convergenza uniforme
Voglio studiare la convergenza uniforme della successione di funzioni $f_n(x)=(1-x^n)/(1-x)$.
Ho visto che converge puntualmente alla funzione $f(x)=1/(1-x)$ su $(-1,1)$.
Ho che $||f_n-f||_(oo)=||x^n/(1-x)||_(oo)$, a questo punto non so come poter calcolare questa sup-norma...mi date un consiglio?
Ho visto che converge puntualmente alla funzione $f(x)=1/(1-x)$ su $(-1,1)$.
Ho che $||f_n-f||_(oo)=||x^n/(1-x)||_(oo)$, a questo punto non so come poter calcolare questa sup-norma...mi date un consiglio?
Risposte
Sei proprio sicuro della funzione limite?
Per sbaglio avevo copiato quella dell'esercizio precedente, ora ho aggiustato il post. Sorry 
Ah, ok, mi pareva...
Ad ogni modo, dato che:
\[
\| f_n - f\|_\infty := \sup_{x\in ]-1,1[} \left| f_n(x) - f(x)\right| = \sup_{x\in ]-1,1[} \left| \frac{x^n}{1-x}\right|
\]
ti basta determinare l'estremo superiore della funzione ad ultimo membro. Per fare ciò, dato che la funzione è abbastanza regolare, basta fare un banale studio della monotonia.
Ad ogni modo, dato che:
\[
\| f_n - f\|_\infty := \sup_{x\in ]-1,1[} \left| f_n(x) - f(x)\right| = \sup_{x\in ]-1,1[} \left| \frac{x^n}{1-x}\right|
\]
ti basta determinare l'estremo superiore della funzione ad ultimo membro. Per fare ciò, dato che la funzione è abbastanza regolare, basta fare un banale studio della monotonia.
$d/(dx)(x^n/(1-x))=x^(n-1)(x(1-n)+n)/(1-x)^2$
Questa derivata è continua e si annulla in $x=0$ (unica radice nell'intervallo $(-1,1)$) e in $x=-n/(1-n)$, si ha $f_n(0)-f(0)=0$.
Allora il sup di $|f_n(x)-f(x)|$ è assunto in prossimità degli estremi dell'intervallo $(-1,1)$.
Si ha $lim_(x->-1^+)f_n(x)-f(x)=1/2$ e $lim_(x->+1^-)f_n(x)-f(x)=+oo$, dunque non può esserci convergenza uniforme su $(-1,1)$, giusto?
Se però fisso $0-delta)f_n(x)-f(x)=delta^n/(1+delta)$ e $lim_(x->+delta)f_n(x)-f(x)=delta^n/(1-delta)$ e dunque $||f_n-f||_(oo)=delta^n/(1-delta)$ e $lim_(n->(oo))||f_n-f||_(oo)=0$ dunque si ha convergenza uniforme su ogni intervallo $[-delta,delta]$ con $0
Questa derivata è continua e si annulla in $x=0$ (unica radice nell'intervallo $(-1,1)$) e in $x=-n/(1-n)$, si ha $f_n(0)-f(0)=0$.
Allora il sup di $|f_n(x)-f(x)|$ è assunto in prossimità degli estremi dell'intervallo $(-1,1)$.
Si ha $lim_(x->-1^+)f_n(x)-f(x)=1/2$ e $lim_(x->+1^-)f_n(x)-f(x)=+oo$, dunque non può esserci convergenza uniforme su $(-1,1)$, giusto?
Se però fisso $0
Yes. 
Ottimo, grazie!
Provo allora a passare ad un esercizio sulle serie di funzioni: si chiede di studiare la convergenza uniforme e totale della serie $\sum_(n=1)^(oo)x^2/((1+nx^2)sqrt(n))$.
Si tratta di una serie a termini non negativi, il termine generale ha minimo in $x=0$ e dunque $||x^2/((1+nx^2)sqrt(n))||_(oo)=lim_(x->(oo))x^2/((1+nx^2)sqrt(n))=1/n^(3/2)$.
La serie $\sum_(n=1)^(oo)1/n^(3/2)$ converge (serie armonica generalizzata con $3/2>1$) e dunque la mia serie di partenza converge totalmente su $RR$ (dunque anche uniformemente).
Tutto lecito?
Provo allora a passare ad un esercizio sulle serie di funzioni: si chiede di studiare la convergenza uniforme e totale della serie $\sum_(n=1)^(oo)x^2/((1+nx^2)sqrt(n))$.
Si tratta di una serie a termini non negativi, il termine generale ha minimo in $x=0$ e dunque $||x^2/((1+nx^2)sqrt(n))||_(oo)=lim_(x->(oo))x^2/((1+nx^2)sqrt(n))=1/n^(3/2)$.
La serie $\sum_(n=1)^(oo)1/n^(3/2)$ converge (serie armonica generalizzata con $3/2>1$) e dunque la mia serie di partenza converge totalmente su $RR$ (dunque anche uniformemente).
Tutto lecito?
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