Convergenza totale serie di funzioni
Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
Provare la convergenza totale della serie di funzioni $ sum_(n= 2)^(oo) n ln (1+ ( |x|^n)/(n(n-1)^2)) $
Osserviamo che il termine generale $fn(x)=n ln (1+ ( |x|^n)/(n(n-1)^2))$ tende a zero solo se $ |x| \leq 1 $;
La serie può convergere in x se e solo se $ x in [-1,1] $;
Fissato $ x in [-1,1] $ si ha:
$|fn(x)|=n ln (1+ ( |x|^n)/(n(n-1)^2)) \leq n ln (1+ ( 1)/(n(n-1)^2))
Mi sono bloccato qui; che altro maggiorante posso trovare??
Mi potreste illustrare il perchè con dei passaggi??
Grazie.
avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
Provare la convergenza totale della serie di funzioni $ sum_(n= 2)^(oo) n ln (1+ ( |x|^n)/(n(n-1)^2)) $
Osserviamo che il termine generale $fn(x)=n ln (1+ ( |x|^n)/(n(n-1)^2))$ tende a zero solo se $ |x| \leq 1 $;
La serie può convergere in x se e solo se $ x in [-1,1] $;
Fissato $ x in [-1,1] $ si ha:
$|fn(x)|=n ln (1+ ( |x|^n)/(n(n-1)^2)) \leq n ln (1+ ( 1)/(n(n-1)^2))
Mi sono bloccato qui; che altro maggiorante posso trovare??
Mi potreste illustrare il perchè con dei passaggi??
Grazie.
Risposte
Io direi che puoi ragionare così: le funzioni [tex]$f_n(x)$[/tex] sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate; inoltre [tex]$f_n(\pm 1)=n\log\left(1+\frac{1}{n(n-1)^2}\right)>n\log(1)=0=f_n(0)$[/tex]; infine se consideri, ad esempio solo $0\le x\le 1$, la funzione risulta crecente su questo intervallo (per quello che hai scritto prima): per cui in $x=0$ hai un minimo assoluto e in $x=\pm1$ un massimo assoluto (sull'intervallo [tex]$(-1,1)$[/tex]).