Convergenza totale serie di funzioni
ciao ragazzi eccomi ancora ancora qua e con un quesito neanche troppo diverso dal primo che ho inserito.
Mi trovo a dover decidere la convergenza totale della serie
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(frac{nx}{n^2+x^2})^2$ per $x\in\phi={x>=0}$
il mio problema è che ho provato a risolverla in due modi ed in un modo converge e in un modo no:
intanto per trovare se converge o no devo sempre trovare $M_n="sup"_{x\in\phi\}\|f_n(x)|"$, dove $phi$ è un insieme limitato e poi faccio $\sum_{n=1}^\infty\M_n$ e se questa serie converge allora la serie di funzioni di partenza converge totalmente.
Nel primo modo per trovare il sup ho provato a fare la derivata rispetto a x di $f_n(x)$ ed a uguagliarla a zero e a trovare x che mi massimizza la funzione che viene $x=n$, se lo vado a sostituire viene $"sup"_{x\in\phi\}\|f_n(x)|=1/4$ e quindi la funzione non converge perchè se faccio la sommatoria di $1/4$ non tende a zero.
Il secondo modo è consistito semplicemente nel maggiorare il termine $f_n(x)$ togliendo $x^2$ al denominatore e in questo modo risulta:
$f(x)=x^2\sum_{n=1}^\infty\1/n^2$ quindi il sup è una serie armonica e converge.
Qualcuno può indicarmi quali passaggi o ragionamenti sbagliati ho fatto? grazie
Mi trovo a dover decidere la convergenza totale della serie
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(frac{nx}{n^2+x^2})^2$ per $x\in\phi={x>=0}$
il mio problema è che ho provato a risolverla in due modi ed in un modo converge e in un modo no:
intanto per trovare se converge o no devo sempre trovare $M_n="sup"_{x\in\phi\}\|f_n(x)|"$, dove $phi$ è un insieme limitato e poi faccio $\sum_{n=1}^\infty\M_n$ e se questa serie converge allora la serie di funzioni di partenza converge totalmente.
Nel primo modo per trovare il sup ho provato a fare la derivata rispetto a x di $f_n(x)$ ed a uguagliarla a zero e a trovare x che mi massimizza la funzione che viene $x=n$, se lo vado a sostituire viene $"sup"_{x\in\phi\}\|f_n(x)|=1/4$ e quindi la funzione non converge perchè se faccio la sommatoria di $1/4$ non tende a zero.
Il secondo modo è consistito semplicemente nel maggiorare il termine $f_n(x)$ togliendo $x^2$ al denominatore e in questo modo risulta:
$f(x)=x^2\sum_{n=1}^\infty\1/n^2$ quindi il sup è una serie armonica e converge.
Qualcuno può indicarmi quali passaggi o ragionamenti sbagliati ho fatto? grazie
Risposte
Il secondo modo è consistito semplicemente nel maggiorare il termine fn(x) togliendo x2 al denominatore e in questo modo risulta:
f(x)=x2∑n=1∞1n2 quindi il sup è una serie armonica e converge.
Questo mostra solo che $\sum_{k=1}^{+\infty}\(\frac{nx}{n^2+x^2}\)^2$ converge, ma non permette di dire che la convergenza è totale (infatti non lo è).
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