Convergenza totale serie di funzioni

[Sk_Anonymous]

Per verificare che una serie di funzioni converge totalmente in un certo intervallo posso calcolare il sup del modulo del termine generale della serie e vedere se la serie fatta con questo sup è convergente?

[Sk_Anonymous]

Una serie di funzioni \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n \) con \(f_n : A \to \mathbb{R}\) si dice totalmente convergente in \(E \subseteq A\) se è convergente la somma delle norme \(\sum_{n=1}^{\infty} \|f_n \|_{\infty, E} = \sum_{n=1}^{\infty} \sup_{E} |f_{n} (x) | \) (cfr. Enrico Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica - Volume secondo).

Quindi sì, se è questo che intendi.

[Sk_Anonymous]

Grazie, ho capito!

[giuscri]

Scusate, mi permetto di integrare, e tentare di andare a un livello un pelo piu' basso: mi sembra carino ricordare da dove spuntino queste norme infinito.

Hai una successione di funzioni \(\{f_n\}\). Una definizione -che forse e' piu' tradizionale- di convergenza totale e' la seguente:

Definizione 1: la s.d.f. \(\sum f_n\) converge totalmente nell'intervallo \(J\) se esiste una successione numerica \(\{M_n\}\) positiva tale che:
[list=1]
[*:34lcporc]Per ogni \(n\) ho un controllo del termine n-esimo della \(\{f_n\}\) dato dal termine n-esimo della successione \(\{M_n\}\)[/*:34lcporc]
[*:34lcporc]Questa successione di valori controllanti e' convergente.[/*:34lcporc]
[/list:o:34lcporc]

Cioe', \(\sum f_n\) converge totalmente, quando riesco a costruire una \(\{M_n\}\) per cui ho:
[list=1]
[*:34lcporc]\[ \left|\,f_n (x)\,\right| \le M_n \quad \forall x \in J,\; \forall{n}\][/*:34lcporc]
[*:34lcporc]\[\sum M_n < +\infty\][/*:34lcporc]
[/list:o:34lcporc]

Una successione \(\{M_n\}\) che maggiora termine n-esimo per termine n-esimo e' la successione dei \(sup\) -per definizione di \(sup\). D'altrocanto, trattandosi della piu' aderente (alla funzione) delle \(\{M_n\}\) e' quella che ha piu' possibilita' di convergere.

Introducendo la norma infinito su \(J\), cioe'
\[\|f_n\|_{\infty,\,J} := \sup_{x \in J} \left|\,f_n(x)\,\right|\]
si puo' riscrivere la definizione di convergenza totale in modo piu' compatto come segue:

Definizione 2: la s.d.f. \(\sum f_n\) converge totalmente nell'intervallo \(J\) sse \(\sum \|f_n\|_{\infty,\,E}\) converge.

Usare la seconda definizione -quella delle norme infinito- ti permette di dimostrare il teorema di K.Weierstrass in due secondi: \(\sum f_n\) converge totalmente in \(J\), allora converge in modo uniforme. Infatti:
\[\forall{\varepsilon} > 0,\,\exists{\bar{n}}\,|\,\forall{n}\ge\bar{n},\,\forall{p}\ge1\,:\]
\[\varepsilon > \sum_{k = n+1}^{n+p} \|f_k\|_{\infty,\,J} \stackrel{\text{dis $\vartriangle$}}{\ge}
\left\|{\sum_{k=n+1}^{n+p} f_k}\right\|_{\infty,\,J}\]
cioe' \( \| \sum_{n=0}^{\infty} f_n \|_{\infty,\,J} \) converge uniformemente. Il che ti permette di scaricare su \(f\) un po' di proprieta' delle \(f_n\).