Convergenza totale serie
Salve a tutti! Allora ho un dilemma con questa serie:
$ sum nlog(1+x/n) / (x+n)^2 $ il testo dice di verificare che la serie converge totalmente per x in $ [0, +oo ) $
ora io ho fatto il sup del valore assoluto della funzione sull'intervallo e mi torna tipo che il sup viene assunto in $ x = (sqrt(e) -1)n $ e vale
$ 1/(2en) $
il problema è che a questo punto la serie del sup non converge affatto...
Voi che ne dite?
Grazie mille!
$ sum nlog(1+x/n) / (x+n)^2 $ il testo dice di verificare che la serie converge totalmente per x in $ [0, +oo ) $
ora io ho fatto il sup del valore assoluto della funzione sull'intervallo e mi torna tipo che il sup viene assunto in $ x = (sqrt(e) -1)n $ e vale
$ 1/(2en) $
il problema è che a questo punto la serie del sup non converge affatto...
Voi che ne dite?
Grazie mille!
Risposte
Se il $\sup$ vien assunto in $x_n =(\sqrt e -1)n$ notando $f_n(x) = \frac{\log\(1+\frac xn\)}{(x+n)^2}$ dovresti trovare $f_n(x_n) = \frac{\log(1+\sqrt e-1)}{(n(\sqrt e-1)+n)^2}=\frac 1{2n^2 e}$, e questo converge.
No purtroppo la funzione è $ nlog(1+x/n) / (x+n)^2 $ ...
Quella n all'inizio cambia tutto...
Quella n all'inizio cambia tutto...
Puoi sfruttare questa disuguaglianza, che vale $AA y>=0$: $log(1+y)<=y$
Ah ok perfetto quindi tu dici non sto nemmeno a derivare ecc. ma direttamente maggioro il sup con l'uguaglianza che mi hai suggerito trovando che il sup è diciamo $ leq x/n^2 $ la cui serie converge... Giusto?
Ora però una curiosità... Quindi non è sempre detto che facendo il sup "effettivo" con lo studio di funzione trovi il risultato corretto... Perchè se io non avessi avuto il risultato probabilmente avrei fatto i miei conti e ne avrei concluso che non convergeva totalmente in quell'intervallo...
Oppure in effetti avrei potuto notare che il punto in cui ho trovato il sup tende a zero per n che tende all'infinito e dopo di lui la funzione decresce quindi in un intervallo del tipo $ [a, +oo ) $ con $ a > 0 $ il sup era proprio in a e per confronto la serie con a converge. Dopodichè in zero ho la serie nulla che converge e ho di nuovo la conv tot in tutto $ [0, +oo ) $...
Possibile?
Ora però una curiosità... Quindi non è sempre detto che facendo il sup "effettivo" con lo studio di funzione trovi il risultato corretto... Perchè se io non avessi avuto il risultato probabilmente avrei fatto i miei conti e ne avrei concluso che non convergeva totalmente in quell'intervallo...
Oppure in effetti avrei potuto notare che il punto in cui ho trovato il sup tende a zero per n che tende all'infinito e dopo di lui la funzione decresce quindi in un intervallo del tipo $ [a, +oo ) $ con $ a > 0 $ il sup era proprio in a e per confronto la serie con a converge. Dopodichè in zero ho la serie nulla che converge e ho di nuovo la conv tot in tutto $ [0, +oo ) $...
Possibile?
"elipi":
No purtroppo la funzione è $ nlog(1+x/n) / (x+n)^2 $ ...
Quella n all'inizio cambia tutto...
Non l'avevo visto. Ma allora mi chiedo come si possa avere la convergenza totale su $[0,+\infty[$ dato che per $x=0$ la serie non converge.
Secondo me se fosse stata una successione di funzioni data del termine generale della serie, dalla maggiorazione che trovi cioè $f_n(x)<=1/(2en)$ avresti potuto concludere che converge uniformemente sull'intervallo $[0,+oo)$. Siccome è una serie quella maggiorazione non basta più, e penso che l'unica utile sia quella che ti ha proposto Gi8.
Il tuo ragionamento mi sa che non sarebbe corretto nemmeno se veramente l'estremante tendesse a $0$ quando $n->+oo$, cosa che non fa!
Il tuo ragionamento mi sa che non sarebbe corretto nemmeno se veramente l'estremante tendesse a $0$ quando $n->+oo$, cosa che non fa!
Oh già è vero!!! Mi ero distratta ed ero convinta fosse fratto n!!! 
ohi ohi allora a maggior ragione se non avessi avuto il risultato probabilmente avrei concluso che non convergeva... Ma come devo ragionare allora in questi casi? Anche se con lo studio di funzione non trovo nulla di buono devo comunque provare a maggiorare il sup?
ohi ohi allora a maggior ragione se non avessi avuto il risultato probabilmente avrei concluso che non convergeva... Ma come devo ragionare allora in questi casi? Anche se con lo studio di funzione non trovo nulla di buono devo comunque provare a maggiorare il sup?
Eh già, soprattutto quando un esercizio di chiede di verificare qualcosa, di solito quella cosa è vera. Quindi se arrivi a una maggiorazione che non ti permette concludere che la serie converge uniformemente, vuol dire che quella maggiorazione non è abbastanza.
In ogni caso tu da quella maggiorazione non puoi concludere che la serie NON converge uniformemente su quell'intervallo.
In ogni caso tu da quella maggiorazione non puoi concludere che la serie NON converge uniformemente su quell'intervallo.
Capisco... Bene, grazie mille a tutti!
"girdav":
mi chiedo come si possa avere la convergenza totale su $[0,+\infty[$ dato che per $x=0$ la serie non converge.
Guarda che $log(1)=0$ 
"elipi":
Ah ok perfetto quindi tu dici non sto nemmeno a derivare ecc. ma direttamente maggioro il sup con l'uguaglianza che mi hai suggerito trovando che il sup è diciamo $ leq x/n^2 $ la cui serie converge... Giusto?
Prima di tutto questo è sbagliato, quella successione di funzioni non converge uniformemente in $RR^+$ alla funzione nulla. Inoltre anche utilizzando la maggiorazione che ti hanno proposto sei comunque costretta a farla la derivata; provandoci mi sono accorto che si ottiene un massimo (del modulo della nuova $f_n$) in $x=n$ e siamo punto a capo..
Infatti $|f_n|<=|x/(x+n)^2|$, ma il $Sup_(x in [0,+oo)) |x/(x+n)^2| = |n/(4n^2)|= |1/(4n)|$, ergo anche qui la condizione sufficiente di Weierstrass non viene in auto..
"elipi":
$ sum n log(1+x/n) / (x+n)^2 $ il testo dice di verificare che la serie converge totalmente per x in $ [0, +oo ) $
Un idea può essere:
$ n log(1+x/n) / (x+n)^2 = log(1+x/n)^n / (x+n)^2 = log(1+x/n)^{(n/x) x } / (x+n)^2 = ( x log(1+x/n)^{(n/x)} ) / (x+n)^2 $
Ricordo che:
$ lim_{n to oo} log(1+x/n)^{(n/x)} = 1 $
e quindi
$ ( x log(1+x/n)^{(n/x)} ) / (x+n)^2 $ equivale a $ x / (x+n)^2 $
A questo punto osservo che per ogni $ x in (0,oo)$
$ x / (x+n)^2 < x / n^2 $ e quest' ultimo è il termine della serie armonica generalizzata di esponente 2 che converge.
Dato che per $x=0$ la somma della serie è 0, si conclude che la serie converge per ogni x in $ [0, +oo )$
.
Guarda che è una serie di funzioni e c'è in ballo anche la convergenza uniforme.. che converge puntualmente in quell'intervallo penso fosse chiaro a tutti!
Tra l'altro noto che la richiesta dell'esercizio in realtà richiede la convergenza totale, che è qualcosa di più di quella uniforme.
Tra l'altro noto che la richiesta dell'esercizio in realtà richiede la convergenza totale, che è qualcosa di più di quella uniforme.
Niente da fare, quella serie non converge nè totalmente nè uniformemente su $RR^+$, ma solo in ogni compatto del tipo $[0,M]$ dove $M>0$.
Infatti per il criterio di Cauchy si ha:
$Sup_(x in RR^+)|sum_(n = p)^(p+q) f_n(x)| =1/4sum_(n = p)^(p+q)1/(n)$, e ovviamente per ogni $epsilon>0$ non esiste nessun $n_0$ tale che per ogni $p>=n_0$ $q>=0$ si abbia che quella roba è $
Infatti per il criterio di Cauchy si ha:
$Sup_(x in RR^+)|sum_(n = p)^(p+q) f_n(x)| =1/4sum_(n = p)^(p+q)1/(n)$, e ovviamente per ogni $epsilon>0$ non esiste nessun $n_0$ tale che per ogni $p>=n_0$ $q>=0$ si abbia che quella roba è $
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