Convergenza totale in spazi normati
Quel che mi domando è se l'implicazione [tex]$\text{convergenza totale} \Rightarrow \text{convergenza uniforme}$[/tex] vale ancora in generale (cioè non solo in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex]).
Mi spiego meglio.
Sia [tex]$E$[/tex] un insieme qualsiasi e sia [tex]$Y$[/tex] uno spazio normato con norma [tex]$\| \cdot \| _Y : Y \to \mathbb{R}_{\geq 0}$[/tex].
Sia [tex]$\mathcal{B} (E,Y)$[/tex] l'insieme delle funzioni limitate da [tex]$E$[/tex] in [tex]$Y$[/tex] cioè le [tex]$f$[/tex] tali che il diametro dell'immagine sia finito: [tex]$\delta (f(E)) < + \infty$[/tex]. Sappiamo che questo insieme è uno spazio normato con la seguente norma: [tex]$\|f\|_{\infty} : = \text{sup}_{x \in E} \|f(x) \|_Y$[/tex].
Sia [tex]$\{f_k\}_k \subset \mathcal{B} (E,Y)$[/tex] una successione di funzioni. Sia [tex]$\sum_k f_k$[/tex] la serie relativa a tale successione e si indichi con [tex]$s_n$[/tex] la somma parziale n-esima.
Tale serie converge totalmente se converge la serie [tex]$\sum_k \|f_k\|_{\infty}$[/tex].
Converge uniformemente invece se [tex]$s_n$[/tex] converge uniformemente a una funzione [tex]$s$[/tex], cioè [tex]$\|s-s_n\|_{\infty} \to 0$[/tex].
Provo a dimostrare l'implicazione (sperando che sia vera
):
[tex]$\forall x \in E$[/tex] si ha [tex]$\|f_k(x) \|_Y \leq \|f_k\|_{\infty}$[/tex]; per il criterio del confronto (poiché sto considerando serie in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] a termini positivi, per come è definita la norma) [tex]$\sum_k \|f_k(x)\|_Y$[/tex] converge per ogni [tex]$x$[/tex]. Perciò converge anche [tex]$\sum_k f_k(x)$[/tex] (ecco, di questo punto non sono sicuro e non riesco a dimostrarlo), cioè la serie converge puntualmente a una funzione [tex]$s(x)$[/tex].
Allora, sfruttando la disuguaglianza triangolare e ponendo [tex]$\sigma = \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_{\infty}$[/tex] e [tex]$\sigma_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|f_k\|_{\infty}$[/tex]:
[tex]$\|s-s_n\|_{\infty}=\bigg{\|}\sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k \bigg{\|}_{\infty} \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|f_k\|_{\infty}= \sigma - \sigma_n \to 0$[/tex].
Mi spiego meglio.
Sia [tex]$E$[/tex] un insieme qualsiasi e sia [tex]$Y$[/tex] uno spazio normato con norma [tex]$\| \cdot \| _Y : Y \to \mathbb{R}_{\geq 0}$[/tex].
Sia [tex]$\mathcal{B} (E,Y)$[/tex] l'insieme delle funzioni limitate da [tex]$E$[/tex] in [tex]$Y$[/tex] cioè le [tex]$f$[/tex] tali che il diametro dell'immagine sia finito: [tex]$\delta (f(E)) < + \infty$[/tex]. Sappiamo che questo insieme è uno spazio normato con la seguente norma: [tex]$\|f\|_{\infty} : = \text{sup}_{x \in E} \|f(x) \|_Y$[/tex].
Sia [tex]$\{f_k\}_k \subset \mathcal{B} (E,Y)$[/tex] una successione di funzioni. Sia [tex]$\sum_k f_k$[/tex] la serie relativa a tale successione e si indichi con [tex]$s_n$[/tex] la somma parziale n-esima.
Tale serie converge totalmente se converge la serie [tex]$\sum_k \|f_k\|_{\infty}$[/tex].
Converge uniformemente invece se [tex]$s_n$[/tex] converge uniformemente a una funzione [tex]$s$[/tex], cioè [tex]$\|s-s_n\|_{\infty} \to 0$[/tex].
Provo a dimostrare l'implicazione (sperando che sia vera
): [tex]$\forall x \in E$[/tex] si ha [tex]$\|f_k(x) \|_Y \leq \|f_k\|_{\infty}$[/tex]; per il criterio del confronto (poiché sto considerando serie in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] a termini positivi, per come è definita la norma) [tex]$\sum_k \|f_k(x)\|_Y$[/tex] converge per ogni [tex]$x$[/tex]. Perciò converge anche [tex]$\sum_k f_k(x)$[/tex] (ecco, di questo punto non sono sicuro e non riesco a dimostrarlo), cioè la serie converge puntualmente a una funzione [tex]$s(x)$[/tex].
Allora, sfruttando la disuguaglianza triangolare e ponendo [tex]$\sigma = \sum_{k=1}^{+\infty} \|f_k\|_{\infty}$[/tex] e [tex]$\sigma_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|f_k\|_{\infty}$[/tex]:
[tex]$\|s-s_n\|_{\infty}=\bigg{\|}\sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k \bigg{\|}_{\infty} \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|f_k\|_{\infty}= \sigma - \sigma_n \to 0$[/tex].
Risposte
No, aspetta, non è proprio così. Una serie di funzioni $f_k: E \to Y$ converge totalmente se esiste una serie numerica positiva e convergente $sum_k M_n$ tale che $||f_k|| \leM_k$ per ogni $k$. Questo implica la convergenza uniforme? Si, se $Y$ è completo: infatti è verificata la disuguaglianza
$||f_{k}(x)+f_{k+1}(x)+...+f_{k+h}(x)|| \le M_k+\ldots +M_{k+h}$
per ogni $x \in E, k, h \in NN$. Siccome la serie $sumM_k$ verifica il criterio di Cauchy, la serie $sum f_k(x)$ verifica il criterio di Cauchy uniformemente rispetto ad $x$.
$||f_{k}(x)+f_{k+1}(x)+...+f_{k+h}(x)|| \le M_k+\ldots +M_{k+h}$
per ogni $x \in E, k, h \in NN$. Siccome la serie $sumM_k$ verifica il criterio di Cauchy, la serie $sum f_k(x)$ verifica il criterio di Cauchy uniformemente rispetto ad $x$.
Avevo preso questa definizione perché è quella che dà il Giusti. In effetti, avevo letto sul Marcellini-Sbordone la definizione che mi hai dato tu e non sapevo quale prendere fra le due :\
Ma quindi, usando la definizione del Giusti, potrei concludere, dicendo che [tex]$\|f_k+ \dots + f_{k+p} \|_{\infty} \leq \|f_k\|_{\infty}+ \dots + \|f_{k+p}\|_{\infty}$[/tex], poi sfruttando la condizione di Cauchy e la completezza di [tex]$Y$[/tex] in modo simile a come hai fatto su, solo considerando che la serie [tex]$\sum_k \|f_k\|_{\infty}$[/tex] converge. E' corretto?
Ma quindi, usando la definizione del Giusti, potrei concludere, dicendo che [tex]$\|f_k+ \dots + f_{k+p} \|_{\infty} \leq \|f_k\|_{\infty}+ \dots + \|f_{k+p}\|_{\infty}$[/tex], poi sfruttando la condizione di Cauchy e la completezza di [tex]$Y$[/tex] in modo simile a come hai fatto su, solo considerando che la serie [tex]$\sum_k \|f_k\|_{\infty}$[/tex] converge. E' corretto?
Ah, si, ok, non avevo visto quell'$infty$ al pedice nella definizione del libro di Giusti. Si, beh allora le due definizioni sono proprio equivalenti. Nel tuo caso la serie $sum M_k$ è ovviamente $sum ||f_k||_{infty}$, proprio come dici tu. Sono solo dettagli senza nessuna importanza.
La cosa significativa, invece, è che il risultato ha bisogno in modo ineludibile della completezza di $Y$. In generale se vuoi parlare di convergenza di serie hai bisogno della completezza senza la quale non vai da nessuna parte. [size=75]
Ancora più in generale, se vuoi fare dell'analisi hai bisogno della completezza «senza la quale non vai da nessuna parte».[/size]
La cosa significativa, invece, è che il risultato ha bisogno in modo ineludibile della completezza di $Y$. In generale se vuoi parlare di convergenza di serie hai bisogno della completezza senza la quale non vai da nessuna parte. [size=75]
Ancora più in generale, se vuoi fare dell'analisi hai bisogno della completezza «senza la quale non vai da nessuna parte».[/size]
Ah, dunque sono equivalenti.
Ti ringrazio per le dritte!
Ti ringrazio per le dritte!
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