Convergenza totale e teorema Weierstrass

[Darksasori]

Ciao a tutti, avrei questo dubbio, per dimostrare che una serie converge totalmente basta usare il teorema di Weierstrass, ma questo sbaglio o è praticamente un teorema del confronto?

[Darksasori]

Up!

[gugo82]

Esempio?

[Darksasori]

Ad esempio $ sum(sin(nx)/(n^3)) $ so chè è minore della serie convergente $1/n^3$ quindi converge totalmente, ma questo è lo stesso procedimento che userei con il teorema del confronto.

[gugo82]

La definizione di convergenza totale è la seguente:

Sia \(\sum f_n\) una serie di funzioni definite in \(X\subseteq \mathbb{R}^N\).
Si dice che \(\sum f_n\) converge totalmente in \(X\) se esiste una successione \((M_n)\) di numeri nonnegativi tali che:
\[
\sum M_n \text{ converge e } \forall x\in X,\ |f_n(x)|\leq M_n
\]

quindi è proprio la definizione di convergenza totale ad essere improntata sul confronto.

Poi si prova che:

Una serie di funzioni \(\sum f_n\) è totalmente convergente in \(X\) se e solo se la serie numerica \(\sum \sup_X |f_n|\) è convergente.

il che ti dà un modo semplice per determinare le costanti \(M_n\) che compaiono nella definizione di convergenza totale.

[Darksasori]

Grazie per la spiegazione, era proprio quello che volevo capire!