Convergenza totale e puntuale di una serie di potenza

[swanrhcp]

Salve, ho un dubbio sull'insieme di convergenza di una serie di potenza. In un esercizio standard dove si calcola il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza ottengo raggio r=3, quindi l'insieme di convergenza è uguale a (-3,3)..ora il mio dubbio è: La serie di potenza converge puntualmente o totalmente in questo insieme (-3,3)?? Se la risposta è puntualmente, per sapere se converge anche totalmente bisogna vedere se converge la serie nei punti -3 e 3 (cioè sostituire una volta x=-3 e una volta x=3) e quindi scrivere che converge totalmente nell'insieme [-3,3]??? Ho capito bene o sbaglio qualcosa??

e se invece converge solo in uno dei due punti, ad esempio (-3,3], converge sempre tot. ??? Grazie.

[Hadronen]

Se hai una serie di potenze del tipo $\sum_(n=1)^oo a_n x^n$ e noti che R = 3, allora converge TOTALMENTE se $|x| < 3$ .
Dopodiche' puoi valutare se converge TOTALMENTE anche negli estremi... Ponendo x = -3 e 3 rispettivamente.

[swanrhcp]

"Hadronen":Se hai una serie di potenze del tipo $\sum_(n=1)^oo a_n x^n$ e noti che R = 3, allora converge TOTALMENTE se $|x| < 3$ .
Dopodiche' puoi valutare se converge TOTALMENTE anche negli estremi... Ponendo x = -3 e 3 rispettivamente.

Grazie!

[Hadronen]

Attento, pero'... Riguardando la mia risposta potrei essermi espresso malamente: ho detto 'PUOI valutare se converge totalmente...' ; questo implicava che dovevi usare la nozione di convergenza totale applicata alla serie in quei due punti.

[swanrhcp]

Allora se ho capito bene trovando R=3 io so che la serie converge totalmente se $|x|<3$ Indipendentemente da se converge anche negli estremi giusto?

[Hadronen]

Sì, questo te lo assicura il teorema del disco di convergenza di serie di potenze.

[swanrhcp]

OK. Nel caso un esercizio mi chieda di studiare la convergenza totale e puntuale della serie di potenza basta trovare l'insieme di convergenza allora?

[Hadronen]

Esattamente.

[swanrhcp]

Grazie!