Convergenza totale di serie di potenza

[Ale1521]

Salve, ho un dubbio sulla totale convergenza di una serie di potenze.
All'interno del raggio di convergenza, il tipo di convergenza è uniforme, ma cosa posso dire sulla totale convergenza?
La totale implica l'uniforme, ma non viceversa, quindi come posso trovare l'intervallo di totale convergenza?
Devo applicare il criterio di totale convergenza che utilizzo per le serie di funzioni o, dato che è una serie di potenza, posso dire qualcosa a priori?

Grazie.

[gugo82]

Guarda che il Teorema del raggio di convergenza (o come si chiama lui... ) ti assicura che la convergenza di una serie di potenze è totale, e perciò anche uniforme, in ogni compatto contenuto nel cerchio di convergenza. Per capire questo fatto basta ripercorrere la dimostrazione (che usa una maggiorazione con una serie geometrica convergente, quindi è proprio una dimostrazione di convergenza totale).

L'ho già detto, ma lo ripeto: la convergenza totale è (pressoché) l'unica definizione di convergenza operativamente buona che può essere usata per le serie di funzioni.
Infatti, a meno di non conoscere in forma chiusa l'espressione delle somme parziali di una serie (e questa eventualità si presenta in pochissimi casi), non è possibile studiare la convergenza uniforme "pura" della serie, ossia non si può studiare la convergenza uniforme senza dover necessariamente ricorrere alla convergenza totale.

[Ale1521]

Oh, hai ragione, grazie!
Non avevo notato la dimostrazione del raggio di convergenza!
Alla fine questa richiesta nell'esercizio serve proprio per capire se si ha studiato la dimostrazione del raggio di convergenza...

[Chiary891]

salve, da poco mi sono unita alla comunità di maticamente,e non so bene ancora come funzione... !!!!!
sto cercando la dimostrazione del teorema:" UNA SERIE ASSOLUTAMENTECONVERGENTE E' CONVERGENTE "
spero che mi possiate aiutare....
grazie

[gugo82]

Una dimostrazione è quella riportata qui (e che ho scoperto adesso, non l'avevo mai vista prima... Ingegnosa! ).

Un'altra, che usa il criterio di Cauchy per le serie, si ricava tenendo presente che risulta:

$|\sum_(k=m+1)^n a_k|<=\sum_(k=m+1)^n |a_k|$

per ogni $1<=m

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[Chiary891]

grazie per l'aiuto prezioso....

[neopeppe89]

davvero bella la dimostrazione che hai proposto nel link gugo

[ViciousGoblin]

Non voglio sminuire l'intervento di Gugo, pero' mi pare che la dimostrazione scritta nel link sia piu' trasparente detta cosi': poniamo

$a_n^+ :="max"(a_n,0)$ (la parte positiva di $a_n$) e $a_n^{-} :="max"(-a_n,0)$ (la parte negativa di $a_n$) e notiamo che $a_n^+\geq0$, $a_n^{-}\geq 0$,
$a_n^+ - a_n^{-} = a_n$ mentre $a_n^++a_n^{-} = |a_n|$. Allora $0\leq a_n^+\leq|a_n|$ e $0\leq \leq a_n^{-} \leq |a_n|$ e applicando il criterio del confronto si ottiene
$\sum_{n}|a_n|<+\infty$ implica $\sum_n a_n^+<+infty$ e $\sum_n a_n^{-}<+\infty$, da cui per differenza la serie $\sum_n a_n$ converge.

Che sia la stessa del link si vede notando che $x^+=(|x|+x)/2$ mentre $x^{-}=(|x|-x)/2$.
Il fatto che mi piaccia di piu' detta come sopra e' che si capisce l'idea di "sommare separatamente i termini positivi e quelli negativi".
Comunque e' una questione di gusti - se si vuole trovare la dimostrazione piu' breve, forse quella del link e' meglio.

Il buono di questo approccio e' che si evita il criterio di Cauchy - il cattivo e' che vale solo in una dimensione , mentre quella col criterio di Cauchy si ripete identica
(in $RR^n$ si potrebbe in realta' passare alla componenti ...)