Convergenza totale

[Cicci23]

Salve a tutti... Avrei bisogno di un aiuto. Preparando l'esame di Analisi III mi sono trovato davanti ad un problema sulla convergenza totale di serie di funzioni. Dagli appunti leggo che per determinare se $ sum fn(x) $ converge totalmente devo trovare una successione Mn che al variare di n ne maggiori il valore assoluto e tale che $ sum Mn $ risulti convergente. Dagli esercizi ho capito che non è restrittivo prendere $ Mn= $ sup $ |fn(x)| $. La cosa che non capisco è la seguente: perché se la serie degli estrimi superiori diverge deduco che la mia serie non converge totalmente?
Grazie

[Zilpha]

Cosa di preciso di risulta dai fogli? e cosa devi dimostrare?

[Cicci23]

Ho modificato il post perché mi sono reso conto che non si capiva niente.

[gugo82]

Basta ricordarsi che i [tex]$\sup |f_n|$[/tex] sono i più piccoli maggioranti di [tex]$|f_n|$[/tex] ed applicare il criterio del confronto alle serie [tex]\sum M_n[/tex] e [tex]\sum \sup |f_n|[/tex].

[Rigel1]

"Cicci23":perché se la serie degli estrimi superiori diverge deduco che la mia serie non converge totalmente?

Per definizione. Infatti:
Definizione. $\sum_n f_n$ converge totalmente in $A$ se
1) per ogni $n\in\mathbb{N}$ esiste una costante $M_n\ge 0$ tale che $|f_n(x)| \le M_n$ per ogni $x\in A$;
2) $\sum_n M_n$ è convergente.

Indichiamo con $A_n = "sup"_{x\in A} |f_n(x)|$.
Osserviamo che, se $(M_n)$ sono delle costanti soddisfacenti 1), allora necessariamente $M_n\ge A_n$ per ogni $n$.
Di conseguenza, se $\sum_n A_n$ diverge, anche $\sum_n M_n$ diverge per il criterio del confronto per le serie a termini non negativi.

EDIT: come al solito gugo è arrivato prima e, questa volta, ha anche dato una risposta (molto) più concisa della mia!!!
Non ci sono più le mezze stagioni...

[Cicci23]

Infatti... Se la serie dei maggioranti converge, converge anche la mia. Quello che non capisco è perchè se la serie degli estremi superiori diverge posso dedurre che la mia serie non converge totalmente... Perchè è questo che vedo dagli appunti...

[Zilpha]

Perfetto, adesso è molto più chiaro!
In generale, quando una serie maggiorante diverge, nulla, si può dire, circa il carattere della serie maggiorata. Quindi si cercano altre strade per dimostrare la convergenza o l'eventuale divergenza della serie. Almeno questo è quello che so io...

[Zilpha]

scusa, puoi citare i tuoi appunti?

[Cicci23]

Credo di aver capito adesso... la mia serie converge totalmente se esiste Mn che la maggiori e converga. Se prendo come Mn la serie degli estremi superiori e questa non converge, per il teorema del confronto non convergerà nessun'altra serie di maggioranti (essendo la serie degli estremi superiori la più piccola possibile) non ne esistono quindi altre (convergenti) che possano maggiorare la mia serie. Quindi la serie non converge totalmente.
Grazie mille a tutti

[Zilpha]

Giusto!