Convergenza totale
Buon pomeriggio.
Un esercizio mi chiede di determinare se esistano $alpha>0$ tali che la serie
$sum (n^alpha x)/(n^3 x^2 +1)$ converga totalmente.
Ho pensato di maggiorare:
$(n^alpha x)/(n^3 x^2 +1) <= (n^alpha x)/(n^3 x^2)$ asintoticamente equivalente a $(n^alpha)/(n^3)$
Affinché l'ultima serie converga, è necessario che: $0
Secondo voi, è corretto?
Un esercizio mi chiede di determinare se esistano $alpha>0$ tali che la serie
$sum (n^alpha x)/(n^3 x^2 +1)$ converga totalmente.
Ho pensato di maggiorare:
$(n^alpha x)/(n^3 x^2 +1) <= (n^alpha x)/(n^3 x^2)$ asintoticamente equivalente a $(n^alpha)/(n^3)$
Affinché l'ultima serie converga, è necessario che: $0
Secondo voi, è corretto?
Risposte
il procedimento che hai seguito è corretta ma:
1. manca il modulo
2. $ (n^alphax)/(n^3x^2) $ è asintotico a sè stesso non a quello che hai detto tu. infatti $ (n^alphax)/(n^3x^2)*(n^3)/(n^alpha)=1/x!=1 $ devi semplicemente dire che hai maggiorato il termine generale della serie con una serie anch'essa convergente (per gli $alpha$ che hai giustamente calcolato) e quindi per il criterio di Weierstrass (o M-test) anche la serie di partenza converge per quegli $alpha$
1. manca il modulo
2. $ (n^alphax)/(n^3x^2) $ è asintotico a sè stesso non a quello che hai detto tu. infatti $ (n^alphax)/(n^3x^2)*(n^3)/(n^alpha)=1/x!=1 $ devi semplicemente dire che hai maggiorato il termine generale della serie con una serie anch'essa convergente (per gli $alpha$ che hai giustamente calcolato) e quindi per il criterio di Weierstrass (o M-test) anche la serie di partenza converge per quegli $alpha$
Ok! Grazie mille!
Se invece mi viene chiesta la convergenza puntuale, io procederei così:
$lim_n (n^(alpha)*x)/(n^3 * x^2 +1) = lim_n (n^(alpha)*x)/(n^3 * x^2) = lim_n (n^(alpha -3))/x =$
1) $0$ se $alpha < 3$
2) $1$ se $alpha = 3$
3) $+infty$ se $alpha > 3$
Quindi, il termine generale tende a 0 solo per $alpha < 3$
Così è corretto? Se sì, come posso concludere?
Se invece mi viene chiesta la convergenza puntuale, io procederei così:
$lim_n (n^(alpha)*x)/(n^3 * x^2 +1) = lim_n (n^(alpha)*x)/(n^3 * x^2) = lim_n (n^(alpha -3))/x =$
1) $0$ se $alpha < 3$
2) $1$ se $alpha = 3$
3) $+infty$ se $alpha > 3$
Quindi, il termine generale tende a 0 solo per $alpha < 3$
Così è corretto? Se sì, come posso concludere?
puoi usare il criterio del confronto asintotico. il termine generale è asintotico a $ n^alpha/(n^3x) $ la serie converge per gli alpha di prima e $AAx in RR$.
preliminarmente hai fatto bene a calcolare quel limite ma dire che se il limite è zero allora converge è (in generale) sbagliato. è vera l'altra implicazione; questa la puoi usare solo come negazione (se non è zero allora non converge).
preliminarmente hai fatto bene a calcolare quel limite ma dire che se il limite è zero allora converge è (in generale) sbagliato. è vera l'altra implicazione; questa la puoi usare solo come negazione (se non è zero allora non converge).
E quindi non vi è differenza di calcolo tra la convergenza puntuale e totale, in questo caso?!
esatto
Per la convergenza totale devi usare una maggiorazione uniforme in $x$ (la $x$ deve sparire dalla maggiorazione in sostanza). In questo caso, credo che tu possa scrivere esplicitamente \(\displaystyle \sup_x f_n(x) \)dove $f_n(x) = \frac{n^{\alpha}x}{n^3x^2+1}$, calcolandone la derivata.
è vero io ho portato fuori dalla serie ma in effetti non è corretto.
"Antimius":
Per la convergenza totale devi usare una maggiorazione uniforme in $x$ (la $x$ deve sparire dalla maggiorazione in sostanza). In questo caso, credo che tu possa scrivere esplicitamente \(\displaystyle \sup_x f_n(x) \)dove $f_n(x) = \frac{n^{\alpha}x}{n^3x^2+1}$, calcolandone la derivata.
Quindi, non posso procedere con la maggiorazione che ho fatto nel primo post, per la convergenza totale?
no, come giustamente CI ( 
) ha fatto notare Antimius puoi calcolare il massimo assoluto della funzione studiando la derivata.
) ha fatto notare Antimius puoi calcolare il massimo assoluto della funzione studiando la derivata.
No, ne devi trovare una in cui la x non compare perché deve convergere la serie delle norme: \(\displaystyle \sum_n \|f_n\|_{\infty} \).
Comunque, come ho già detto prima, in questo caso credo che tu riesca a scrivere esplicitamente\(\displaystyle \|f_n\|_{\infty} = \sup_x |f_n(x)| \) tramite derivazione. Provaci
Comunque, come ho già detto prima, in questo caso credo che tu riesca a scrivere esplicitamente\(\displaystyle \|f_n\|_{\infty} = \sup_x |f_n(x)| \) tramite derivazione. Provaci
Ho ottenuto, col calcolo del $sup$, la serie $sum 1/n^((alpha+3)/2)$
Ora, questa serie deve convergere, quindi, $(alpha+3)/2>1 -> alpha > -1 -> alpha>0$
Converge totalmente $forall alpha$
Ora, questa serie deve convergere, quindi, $(alpha+3)/2>1 -> alpha > -1 -> alpha>0$
Converge totalmente $forall alpha$
C'è qualcosa che non va nei conti. Questo perché la convergenza totale implica quella uniforme che, a sua volta, implica quella puntuale. Perciò, non è possibile che converga totalmente per ogni valore positivo $\alpha$ ma puntualmente solo per quelli minori di $2$.
Posto, per maggior sicurezza, i conti (che prima avevano un errore).
$((n^alphan x)/(n^3 x^2 + 1))' = ((n^alpha)*(n^3 x^2 + 1) - ((n^alpha)x)(2*n^3 x))/((n^3 x^2 + 1)^2)$
Considero solo l'annullamento del numeratore:
$n^(alpha+3) x^2 + n^alpha -2*(n^(alpha+3)x^2)=0 -> n^(alpha +3)x^2 = n^alpha -> x = 1/n^3$ (che risulta essere il massimo. Il valore opposto risulta essere il minimo).
Ho ottenuto la serie dei sup, ovvero: $sum 1/n^3$
che converge sempre...
Ma credo ci sia ancora qualche errore...
$((n^alphan x)/(n^3 x^2 + 1))' = ((n^alpha)*(n^3 x^2 + 1) - ((n^alpha)x)(2*n^3 x))/((n^3 x^2 + 1)^2)$
Considero solo l'annullamento del numeratore:
$n^(alpha+3) x^2 + n^alpha -2*(n^(alpha+3)x^2)=0 -> n^(alpha +3)x^2 = n^alpha -> x = 1/n^3$ (che risulta essere il massimo. Il valore opposto risulta essere il minimo).
Ho ottenuto la serie dei sup, ovvero: $sum 1/n^3$
che converge sempre...
Ma credo ci sia ancora qualche errore...
Quello che hai trovato è il punto di massimo, non il massimo di $f_n$
Il massimo è \(\displaystyle f_n\bigg(\frac{1}{n^3}\bigg)=\frac{n^{\alpha-3}}{\frac{1}{n^3}+1} \sim n^{\alpha-3} \)
Il massimo è \(\displaystyle f_n\bigg(\frac{1}{n^3}\bigg)=\frac{n^{\alpha-3}}{\frac{1}{n^3}+1} \sim n^{\alpha-3} \)
"alfiere15":
$n^(alpha+3) x^2 + n^alpha -2*(n^(alpha+3)x^2)=0 -> n^(alpha +3)x^2 = n^alpha -> x = 1/n^3$
solo una cosa, se posso intromettermi.
$ x^2=1/n^3 rArr x=+- 1/(nsqrtn) $
Hai ragione, non avevo notato l'errore. Quindi va corretto anche il mio conto successivo.
Ringrazio entrambi.
Rivedendo i conti, ottengo la serie $1/2 * sum n^(alpha -3/2)$
Quindi, innanzitutto, richiedo: $alpha -3/2 < 0$
cosicché si abbia $1/2 * sum 1/(n^(-alpha +3/2))$
E poi: $-alpha +3/2 > 1 -> alpha < 1/2$
è corretto?
Rivedendo i conti, ottengo la serie $1/2 * sum n^(alpha -3/2)$
Quindi, innanzitutto, richiedo: $alpha -3/2 < 0$
cosicché si abbia $1/2 * sum 1/(n^(-alpha +3/2))$
E poi: $-alpha +3/2 > 1 -> alpha < 1/2$
è corretto?
Sì, è corretto
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