Convergenza totale

[Tatasala]

Salve, sto affrontando per la prima volta lo studio della convergenza delle serie di funzioni. Il mio problema è interpretare adeguatamente la simbologia del libro che sto adoperando (Lezioni di analisi matematica di Fiorenza, Greco) nel caso specifico della convergenza totale si afferma che: La serie di funzioni $\sum_{n=0}^(+oo)fn(x)$ converge totalmente in $A sub I$ se: $\sum_{n=0}^(+oo)|fn(x)|<+oo$ .
In maniera maccheronica ho capito che voglia dire che la serie data converge totalmente se converge in un intorno di infinito. Chi mi spiega meglio? Grazie in anticipo.

[sahara89]

Ciao,
per avere convergenza totale di una serie di funzioni, si deve avere l'esistenza di una successione $(\alpha_n)_n$, con $\alpha_n \in \mathbb{R}_0^+$, tale che $|f_n(x)|\leq \alpha_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e per ogni $x \in A$, e che la serie numerica $\sum_{n=0}^\infty \alpha_n $ sia convergente.
Si ha poi un teorema che ti dice che la serie di funzioni $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ converge totalmente in $A$ se e solo se $\sum_{n=1}^{\infty} \mbox{sup}_{x \in A} |f_n(x)| < \infty $.

[Tatasala]

Il teorema $\sum_{n=0}^(+oo)|fn(x)|<+oo$ afferma che se $|fn(x)|$ è minore di tutte le serie di funzioni che convergono all'infinito, allora anche $|fn(x)|$ è convergente. Tale convergenza è definita come totale.
A tale proposito si intorduce il teorema di Weierstrass che permette di vedere se una serie di funzioni è totalmente convergente o meno confrontandola con una serie di funzioni nota (a sua volta convergente totalmente).