Convergenza totale

Linux1987
la serie di funzioni $ \sum_(n)f_n(x) $ converge totalmente in $A$ se
1. $\forall n \in N$ ,esiste una costante $M_n>=0$ tale che $|f_n(x)|<=M_n$ per ogni $x \in A $
2. la serie numerica $sum_(n) M_n$ è convergente

Chi mi spiega in parole semplici questo tipo di convergenza?

Risposte
Zero87
Tanto per semplificare una futura risposta (non necessariamente la mia :) ), cos'è che non capisci di quello che hai scritto? (Tutto, una parte, una riga...)

Linux1987
non capisco che centra la serie numerica nella definizione di una serie di funzioni

Zero87
"pasqualinux":
non capisco che centra la serie numerica nella definizione di una serie di funzioni

Serve come termine di paragone, come dice la definizione stessa.

Potrebbe capitare, infatti, che riesci a minorare una serie di funzioni con una serie numerica convergente... [[size=85]così su 2 piedi non ho un esempio pratico[/size]]

Linux1987
in che senso scusa ? cioè una serie di funzioni non è una serie numerica, graficamente come la si pensa?? so come pensare graficamente una successione di funzioni, ma una serie di funzioni? come fa ad essere maggiorata da una serie numerica?

Zero87
"pasqualinux":
in che senso scusa ? cioè una serie di funzioni non è una serie numerica, graficamente come la si pensa?? so come pensare graficamente una successione di funzioni, ma una serie di funzioni? come fa ad essere maggiorata da una serie numerica?

Calma, calma...

Ti chiedo scusa del fatto che non ho un esempio pratico di quello che dici, però ho un esempio "a metà" che ti chiarisce l'ultimo dubbio.

Prendi $\sum_(n=1)^\infty n cos(nx)$.
E' una serie di funzioni, no?

Però, per ogni $x$ può essere minorata membro a membro come segue
$|n cos(nx)|\le n$ (se vuoi il minore stretto puoi porre $|n cos(nx)| < n+1$).
Ora $\sum n$ o $\sum (n+1)$ è una serie numerica, no? :)

Questo vale perché "coseno di qualcosa" (detto grezzo) è sempre minore o uguale a $1$

Mi spiace perché non ho l'esempio del fatto specifico che chiedi, però ti ho fatto un esempio di minorazione che qualche dubbio dovrebbe chiarirtelo.

Linux1987
cioè non capisco graficamente cosa intende la convergenza totale , quella uniforme ok, mi è chiara , ma non mi è chiara questa, magari se qualcuno mi fa un discorso più informale sarebbe meglio , giusto per farmi un idea , perchè la definizione l'ho letta ma praticamente non so cosa voglia dire .. non so se mi spiego

Zero87
"pasqualinux":
non so se mi spiego

Si, ti spieghi, ti spieghi...
Momentaneamente, però (sarà l'ora!) finirei per ripetere quanto detto e quindi passo la palla ad altre risposte in tal senso.

Continuerei dicendo che di volta in volta trovi limitazioni numeriche alle funzioni e la somma di questi numeri è una serie: se tale serie converge, converge anche quella di funzioni perché è somma di quantità minori di quelle della serie convergente usata per il raffronto... Però mi sa che più o meno l'ho detto anche negli interventi precedenti...

theras
@Pasquale.
Il punto del tuo dubbio ritengo sia questo:
se una serie di funzioni è totalmente convergente nell'insieme $A$ allora la successione di funzioni delle sue somme parziali
(chiamiamola ${S_n(x):A to RR}_(n in NN)$)
è ivi maggiorata da una serie numerica convergente,
e dunque innanzitutto converge puntualmente ad una opportuna funzione reale di variabile reale $S(x):A to RR$
(per avvedersene basta,come intendeva Zero87 detto James per gli amici :lol: ,
applicare il teorema del confronto per le serie numeriche ad ogni punto di $A$)..
Ma non solo:
si avrà pure,e non è difficile dimostrarlo,$0<=|S_n (x)-S(x)|<=R_n$ $AA n in NN,AA x in A$,e da ciò sarà velocemente deducibile che la successione numerica di termine generale $"sup"_(x in A)|S_n(x)-S(x)|$ è maggiorata da una infinitesima e,per il teorema dei due carabinieri,è essa stessa infinitesima..
Spero d'aver colto il tuo problema d'approccio ed esserti stato utile:
saluti dal web.
Edit.
Quando una serie di funzioni converge totalmente,
la famiglia dei grafici della successione dei valori assoluti dei suoi resti è,
per quanto detto prima,tutta "schiacciata" in una regione del piano opportunamente vicina all'asse delle ascisse..

Linux1987
ma una ridotta di una serie di funzioni é una funzione giusto?? quindi ha un proprio grafico esatto?

Rigel1
Pensa alle costanti \(M_n\) come a funzioni costanti, se la cosa ti può aiutare.
Il grafico di \(f_n\) resta incastrato fra le quote \(-M_n\) e \(+M_n\). Detto in maniera un po' imprecisa, il resto \(k\)-esimo della serie di funzioni \(\sum_{n=k}^{+\infty} f_k(x)\) resta dunque incastrato fra \(-\sum_{n=k}^{+\infty} M_n\) e \(\sum_{n=k}^{+\infty} M_n\) e di conseguenza viene schiacciato a \(0\), visto che \(\sum_n M_n\) è convergente (dunque il suo resto \(n\)-esimo tende a \(0\)).

Linux1987
allora quindi graficamente la ridotta $S_n(x)$ che è una funzione in quanto somma di funzioni ha il grafico tra $-M_n$ e $+M_n$. Scusa ma nella definizione non compare il resto cosa centra? grazie... ja ja dammi una mano please XD

PS.$|f_n(x)| $ significa che il grafico della funzione sta tutto sopra l'asse delle x esatto? perche c'è bisogno di questa assunzione ?

Rigel1
La ridotta \(n\)-esima è una funzione (ovviamente, essendo somma di funzioni) e ha il grafico che sta fra \(-\sum_{k=1}^n M_k\) e \(+\sum_{k=1}^n M_k\).
In generale questa ridotta \(n\)-esima NON tende a \(0\) (a meno che non converga a \(0\) tutta la serie di funzioni). La cosa importante è che il resto \(n\)-esimo tenda a \(0\), se vuoi che la serie converga.
Forse però, prima di passare allo studio delle serie di funzioni, dovresti avere chiari i concetti relativi alle serie numeriche.

Linux1987
MMM sulle serie numeriche non penso di avere molti dubbi a dire il vero. A cosa ti riferisci in particolare?

Rigel1
Mi sembrava non ti fosse molto chiaro il fatto che, se una serie è convergente, il resto \(n\)-esimo deve tendere a \(0\) (ma forse ho capito male io).

Linux1987
No ma che hai ragione non mi era chiara sta cosa. Cioè se una serie numerica è convergente il resto $n- s i m o$ deve tendere a 0? Ho letto la condizione necessaria di convergenza e i vari criteri di convergenze per serie a segni alterni e serie con termini non negativi. Ma sta cosa non l'ho letta proprio da dove la deduco ?

Linux1987
Ah ok certo, se S è la somma della serie quando $S_n -> S$ allora $R_n=S-Sn$ tende a 0.. chiedo scusa ma troppi argomenti in poco tempo ho il cervello a fuoco

Rigel1
La trovi scritta sul tuo libro all'inizio di pag. 308 (vale a dire, subito dopo la definizione di serie numerica convergente).

Edit: hai risposto prima tu.

Rigel1
"pasqualinux":
Ah ok certo, se S è la somma della serie quando $S_n -> S$ allora $R_n=S-Sn$ tende a 0.. chiedo scusa ma troppi argomenti in poco tempo ho il cervello a fuoco

Per questo ti consigliavo di concentrarti prima sulle questioni di base ed eventualmente passare agli approfondimenti solo in un secondo tempo (anche perché è difficile capire gli approfondimenti se non hai chiari i concetti di base).

Linux1987
@RIgel ti ringrazio e ti chiedo scusa del disturbo come ho già detto la confusione deriva da troppi argomenti tutti insieme.
Volevo chiederti se $|f_n(x)|$ si riferiva a un valore che la funzione $f_n$ assume oppure al grafico della funzione $f_n$, ricordando che $f_n$ è un termine della funzione $S_n$ . Vorrei capire perchè lo tira in ballo nella convergenza totale

Linux1987
lo so ma l'argomento centrale del mio studio sono le serie di funzioni, e a parte sta cosa che mi era saltata di mente ma che ci sono arrivato ragionando il resto è abbastanza chiaro , i dubbi cominciano non appena gli argomenti si fondono

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