Convergenza totale
la serie di funzioni $ \sum_(n)f_n(x) $ converge totalmente in $A$ se
1. $\forall n \in N$ ,esiste una costante $M_n>=0$ tale che $|f_n(x)|<=M_n$ per ogni $x \in A $
2. la serie numerica $sum_(n) M_n$ è convergente
Chi mi spiega in parole semplici questo tipo di convergenza?
1. $\forall n \in N$ ,esiste una costante $M_n>=0$ tale che $|f_n(x)|<=M_n$ per ogni $x \in A $
2. la serie numerica $sum_(n) M_n$ è convergente
Chi mi spiega in parole semplici questo tipo di convergenza?
Risposte
Riguardo alla convergenza totale, al di là della dimostrazione il concetto è relativamente semplice.
Come ti ho già detto, il resto \(n\)-esimo \(r_n\) della serie numerica \(\sum_n M_n\) tende a \(0\), visto che \(\sum_n M_n\) è convergente per ipotesi.
D'altra parte, questo resto maggiora il valore assoluto del resto \(n\)-esimo \(R_n(x)\) della serie di funzioni:
\[
|R_n(x)| \leq r_n\qquad \forall n,\ \forall x\in I.
\]
Come vedi il resto numerico \(r_n\) schiaccia a \(0\), in modo uniforme, il resto \(n\)-esimo \(R_n(x)\) della serie di funzioni (che dunque sarà uniformemente convergente).
Questa che ti ho scritto non è una dimostrazione rigorosa, ma dovrebbe darti un'idea di quello che succede.
Come ti ho già detto, il resto \(n\)-esimo \(r_n\) della serie numerica \(\sum_n M_n\) tende a \(0\), visto che \(\sum_n M_n\) è convergente per ipotesi.
D'altra parte, questo resto maggiora il valore assoluto del resto \(n\)-esimo \(R_n(x)\) della serie di funzioni:
\[
|R_n(x)| \leq r_n\qquad \forall n,\ \forall x\in I.
\]
Come vedi il resto numerico \(r_n\) schiaccia a \(0\), in modo uniforme, il resto \(n\)-esimo \(R_n(x)\) della serie di funzioni (che dunque sarà uniformemente convergente).
Questa che ti ho scritto non è una dimostrazione rigorosa, ma dovrebbe darti un'idea di quello che succede.
si ma ancorq non ho capito cosa centra $|f_n(x)|$ si riferisce al resto n-simo della serie di funzioni?
"pasqualinux":
la serie di funzioni $ \sum_(n)f_n(x) $ converge totalmente in $A$ se
1. $\forall n \in N$ ,esiste una costante $M_n>=0$ tale che $|f_n(x)|<=M_n$ per ogni $x \in A $
2. la serie numerica $sum_(n) M_n$ è convergente
Provo a spiegarla: Data una serie di funzioni $ \sum_(n)f_n(x) $ questa converge totalmente se esiste una costante positiva che maggiora il valore assoluto del termine ennesimo della serie di funzioni, tale costante è un termine della serie convergente
$sum_(n) M_n$, di conseguenza poichè la serie è convergente , per la condizione necessaria di convergenza di una serie numerica il termine $M_n->0$ per $n->\infty$, ma se $M_n$ tende a 0 e per ipotesi maggiora $|f_n(x)|$ allora per il confronto asintotico anche $|f_n(x)| $ converge assolutamente a 0 e quindi anche semplicemente.
Adesso poichè questo è vero $\forall x$ e $\forall n \in N$ allora $f_n(x)$ converge uniformemente, quindi poichè l'ipotesi è $\forall n$ allora tutti i termini della serie di funzione convergono uniformemente e quindi anche la serie converge uniformemente.
Adesso mi dici cosa sbaglio nel mio ragionamento ?
Il fatto che il termine generale \(f_n\) converga uniformemente a \(0\) non implica che la serie sia convergente.
E' per questo che per fare una dimostrazione rigorosa occorre passare per il criterio di convergenza di Cauchy uniforme.
Un'idea (non rigorosa) della dimostrazione è quella che ti ho già scritto, basata sulla stima uniforme del resto.
E' per questo che per fare una dimostrazione rigorosa occorre passare per il criterio di convergenza di Cauchy uniforme.
Un'idea (non rigorosa) della dimostrazione è quella che ti ho già scritto, basata sulla stima uniforme del resto.
"pasqualinux":
Provo a spiegarla: Data una serie di funzioni $ \sum_(n)f_n(x) $ questa converge totalmente se esiste una costante positiva che maggiora il valore assoluto del termine ennesimo della serie di funzioni, tale costante è un termine della serie convergente
$sum_(n) M_n$, di conseguenza poichè la serie è convergente , per la condizione necessaria di convergenza di una serie numerica il termine $M_n->0$ per $n->\infty$, ma se $M_n$ tende a 0 e per ipotesi maggiora $|f_n(x)|$ allora per il confronto asintotico anche $|f_n(x)| $ converge assolutamente a 0 e quindi anche semplicemente.
Adesso mi dici cosa sbaglio nel mio ragionamento ?
Quindi almeno fino e qui il mio ragionamento è esatto ?
Non capisco se "converge" è riferito alla successione o alla serie.
Per la convergenza puntuale puoi far riferimento anche al criterio del confronto (Teor. 8.10 sul tuo libro): per \(x\in I\) fissato, hai che \(|f_n(x)| \leq M_n\) per ogni \(n\), con \(\sum_n M_n\) convergente, quindi \(\sum_n f_n(x)\) è assolutamente convergente (e dunque convergente, Teor. 8.22).
Per la convergenza puntuale puoi far riferimento anche al criterio del confronto (Teor. 8.10 sul tuo libro): per \(x\in I\) fissato, hai che \(|f_n(x)| \leq M_n\) per ogni \(n\), con \(\sum_n M_n\) convergente, quindi \(\sum_n f_n(x)\) è assolutamente convergente (e dunque convergente, Teor. 8.22).
il mio converge era riferito alla successione $|f_n(x)|$. Ho usato il teorema che indichi tu, ho scritto confronto asintotico. Pero mi sa che ho sbagliato, lo dovevo usare con le due serie, come hai fatto tu, anche perchè è un criterio per serie e non per successioni. ho usato male il teorema
"pasqualinux":
Provo a spiegarla: Data una serie di funzioni $ \sum_(n)f_n(x) $ questa converge totalmente se esiste una costante positiva che maggiora il valore assoluto del termine ennesimo della serie di funzioni
Per ogni $n$ esiste una costante positiva tale che $|f_n (x)|
Comunque gli $M_n$ sono una successione, non è detto che siano tutti uguali o ché: si ottiene una collezione (o una successione!) di numeri che, se converge come serie, ci permette di concludere che anche la serie di funzioni iniziale converge.
no scusa stai dicendo che non è detto che se converge la serie degli $M_n$, converge anche la serie di funzioni ??
"pasqualinux":
no scusa stai dicendo che non è detto che se converge la serie degli $M_n$, converge anche la serie di funzioni ??
Ho detto una cosa del genere?
[Dico sul serio, ora sono in crisi...]
Guarda, ricapitolo e do un po' d'ordine.
1.
Hai una serie di funzioni. $\sum_(n=1)^\infty f_n (x)$ ($n$ può partire anche da $0$, $2$, ... un numero qualsiasi).
2.
Fissato un $n$ potresti (ma non è detto), trovare una minorazione numerica per $f_n (x)$. Per esempio $|cos(nx)|\le 1$ oppure $e^(-nx^2)\le e$ (quest'ultima perché se ci pensi bene l'esponente della $e$ è sempre non positivo per ogni $x$ e $n$).
In generale potresti trovare, fissato $n$
$|f_n (x)| \le M_n$.
Questa cosa non è detto che valga sempre: per alcune funzioni può valere solo per intervalli particolari di $x$ (per esempio $nx^2< 4$ solo se $|x|<2$) mentre per altre successioni magari le trovi per alcuni $n$ ma non per tutti... Gli esempi sono tanti.
3.
Mettiamo il caso che riesci a trovare $M_n$ che maggiora $|f_n (x)|$ per $n$ fissato (dunque per ogni $n$).
Cosa ottieni? Una "collezione", una "successione", un... quello che è di numeri!
Esempio: $|cos(nx)|\le 1$ sempre quindi $M_n =1$ per ogni $n$, allora $M_1 =1$, $M_2 =1$, ...
4.
Se hai la successione degli $M_n$, se la serie composta dalla somma dei termini di questa successione converge, allora converge anche
$\sum_(n=1)^\infty f_n (x)$.
Il perché grafico lo ha detto Rigel qualche intervento fa: la tua serie di funzioni è "incastrata" in limiti numerici i quali, sommati insieme, danno origine ad una serie convergente...
Spero che non mi sia sbagliato nel dire qualcosa e che ora sia tutto più chiaro.
Ricorda sempre che, fissato $n$, $f_n (x)$ è una funzione: né più né meno che una funzione. Il mio $e^(-nx^2)$ [mi è venuto in mente pensando alla $\theta$ di Jacobi
], per $n=5$ non è altro che $f(x) = e^(-5x^2)$.
"zero87":
Il perché grafico lo ha detto Rigel qualche intervento fa: la tua serie di funzioni è "incastrata" in limiti numerici i quali, sommati insieme, danno origine ad una serie convergente...
Cosa intendi con sommati insieme?
per il resto è tutto chiaro..
"pasqualinux":
Cosa intendi con sommati insieme?
per il resto è tutto chiaro..
Come posso dire... diciamo "messi a serie", cioè se hai $M_1$, $M_2$, ..., $M_k$, ... tutte queste costanti (ammesso che le trovi), hai che $\sum_(n=1)^\infty M_n$ è una serie: se è convergente sei apposto.
Un ultima cosa mi dici come si legge questa:
$ g:(n,x) \in N\timesR-> g(n,x)=f_n(x) \in R $
E anche un altro dubbio la costante $M_n$ ammesso che esista , è la stessa per tutti gli n ? cioe puo esse $M_1 \ne M_2$
$ g:(n,x) \in N\timesR-> g(n,x)=f_n(x) \in R $
E anche un altro dubbio la costante $M_n$ ammesso che esista , è la stessa per tutti gli n ? cioe puo esse $M_1 \ne M_2$
$g$ è una funzione dipendente da $n$ e $x$ dove $n\in \NN$ mentre $x\in \RR$.
La scrittura $(a,b)\in A \times B$ è molto utilizzata per dire che un elemento (o un vettore) appartiene a un insieme e l'altro ad un altro: la si ritrova spesso nelle equazioni differenziali o in fisica.
Per dire, ad esempio, che un vettore $(t,x_1 , x_2 , ... , x_n )$ ha una coordinata temporale e le altre spaziali (fisica) si scrive anche $(t,x_1 , x_2 , ... , x_n )\in \RR^+ \times \RR^n$.
Il resto della scrittura dice come è definita la funzione $g(n,x)$ e cioè che $n$ naturale è l'indice e $x$ è il valore su cui è calcolata la funzione.
La scrittura $(a,b)\in A \times B$ è molto utilizzata per dire che un elemento (o un vettore) appartiene a un insieme e l'altro ad un altro: la si ritrova spesso nelle equazioni differenziali o in fisica.
Per dire, ad esempio, che un vettore $(t,x_1 , x_2 , ... , x_n )$ ha una coordinata temporale e le altre spaziali (fisica) si scrive anche $(t,x_1 , x_2 , ... , x_n )\in \RR^+ \times \RR^n$.
Il resto della scrittura dice come è definita la funzione $g(n,x)$ e cioè che $n$ naturale è l'indice e $x$ è il valore su cui è calcolata la funzione.
non mi trovo a me sembra il prodotto cartesiano
E anche un altro dubbio la costante $Mn$ ammesso che esista , è la stessa per tutti gli n ? cioe puo esse $M1≠M2$
E anche un altro dubbio la costante $Mn$ ammesso che esista , è la stessa per tutti gli n ? cioe puo esse $M1≠M2$
"pasqualinux":
non mi trovo a me sembra il prodotto cartesiano
Infatti, è proprio un prodotto cartesiano.
Prendi ad esempio la scrittura:
$(x,y)\in \RR^2$,
si può anche scrivere (non è utilizzato)
$(x,y)\in \R \times \R$.
In essa si dice che ogni componente è reale. In genere, però, quando gli insiemi sono uguali si passa direttamente all'elevamento a potenza invece del prodotto cartesiano (infatti si utilizza la prima scrittura).
Se, invece, hai due variabili di "tipo" differente, come nel tuo caso (una naturale e una reale), si utilizza la forma del prodotto cartesiano.
"pasqualinux":
E anche un altro dubbio la costante $Mn$ ammesso che esista , è la stessa per tutti gli n ? cioe puo esse $M1≠M2$
In genere no e ho anche un bell'esempio oggi!
$\sum_(n=1)^\infty \frac{cos(nx)}{n^2}$.
Fissato $n$, ogni termine, si può maggiorare nel modo seguente in valore assoluto:
$\frac{|cos(nx)|}{n^2}\le \frac{1}{n^2}=M_n$
Inoltre hai
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^2} <\infty$, quindi la tua serie converge totalmente in quanto la serie numerica che la maggiora in valore assoluto è convergente.
il criterio di Weirestrass dice che se converge totalmente converge sia uniformemente che assolutamente esatto?
"pasqualinux":
il criterio di Weirestrass dice che se converge totalmente converge sia uniformemente che assolutamente esatto?
Mi fido di te che dici Weierstrass: io non ricordo di chi sia questo risultato. Però vale quello: se converge totalmente converge assolutamente e uniformemente.
allora ricapitolando: ho una serie di funzioni, e per ogni termine di questa serie di funzioni , trova una costante tale che $|f_n|<=M_n$. Adesso Se con questi $M_n$ faccio una serie e la serie converge ,allora poichè $|f_n(x)|<=M_n \forall n $ usando il confronto asintotico si ha che la serie di funzioni $ sum_n(f_n) $ converge in quanto converge $ sum_n(M_n)$.
EsattO?? Se ci sono inesattezze fin qui , vi prego di citarmi e di farmele notare grazie di cuore.
Adesso parliamone graficamente: abbiamo una serie di funzioni, , dire che questa serie converge totalmente , significa dire che il grafico di $S(x)$ (funzione somma della serie di funzioni) è limitato superiormente dalla funzione costante che vale $ sum_n(M_n) \forall x$ Se ci sono inesattezze qui , vi prego di citarmi e di farmele notare ancora grazie.
EsattO?? Se ci sono inesattezze fin qui , vi prego di citarmi e di farmele notare grazie di cuore.
Adesso parliamone graficamente: abbiamo una serie di funzioni, , dire che questa serie converge totalmente , significa dire che il grafico di $S(x)$ (funzione somma della serie di funzioni) è limitato superiormente dalla funzione costante che vale $ sum_n(M_n) \forall x$ Se ci sono inesattezze qui , vi prego di citarmi e di farmele notare ancora grazie.
"pasqualinux":
allora ricapitolando: ho una serie di funzioni, e per ogni termine di questa serie di funzioni , trova una costante tale che $|f_n|<=M_n$. Adesso Se con questi $M_n$ faccio una serie e la serie converge ,allora poichè $|f_n(x)|<=M_n \forall n $ usando il confronto asintotico si ha che la serie di funzioni $ sum_n(f_n) $ converge in quanto converge $ sum_n(M_n)$.
Secondo me fino a qui è tutto ok.
Per il fatto del grafico passo la palla a utenti meno arrugginiti di me in queste cose perché finirei senz'altro per ripetere concetti già detti in altri post prececenti.
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